Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 109 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Водно-солевой раствор содержал 4 кг соли. Через некоторое время 4 кг воды испарилось, вследствие чего концентрация соли в растворе увеличилась на 5%. Какой была первоначальная масса раствора?
Пусть масса раствора \( x \) кг:
\(
\frac{4}{x} + 5\% = \frac{4}{x — 4}
\)
Умножим обе части на \( x(x — 4) \):
\(
80(x — 4) + x \cdot (x — 4) = 80 \cdot x
\)
Раскроем скобки:
\(
80x — 320 + x^2 — 4x = 80x
\)
Сократим \( 80x \):
\(
x^2 — 4x — 320 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-4)^2 + 4 \cdot 320 = 16 + 1280 = 1296
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 — 36}{2} = -16
\)
\(
x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 + 36}{2} = 20
\)
Ответ: \( x = 20 \) кг.
Пусть масса раствора \( x \) кг. Концентрация соли до испарения:
\(
\frac{4}{x}
\)
После испарения 4 кг воды масса раствора становится \( x — 4 \) кг, и концентрация соли увеличивается на 5%. Новая концентрация:
\(
\frac{4}{x — 4}
\)
Составим уравнение, учитывая увеличение концентрации на 5%:
\(
\frac{4}{x} + 5\% = \frac{4}{x — 4}
\)
Переведём 5% в дробь:
\(
\frac{4}{x} + \frac{5}{100} = \frac{4}{x — 4}
\)
Приведём дроби к общему знаменателю, умножив обе стороны уравнения на \( x(x — 4) \), чтобы избавиться от знаменателей:
\(
80(x — 4) + x \cdot (x — 4) = 80 \cdot x
\)
Раскроем скобки:
\(
80x — 320 + x^2 — 4x = 80x
\)
Сократим \( 80x \) с обеих сторон уравнения:
\(
x^2 — 4x — 320 = 0
\)
Получили квадратное уравнение. Найдём дискриминант по формуле:
\(
D = b^2 — 4ac
\)
Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -320 \). Подставляем значения:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-320)
\)
\(
D = 16 + 1280 = 1296
\)
Дискриминант равен \( D = 1296 \). Теперь найдём корни квадратного уравнения по формуле:
\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\)
Подставляем значения \( b = -4 \), \( D = 1296 \), \( a = 1 \):
\(
x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16
\)
\(
x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20
\)
Корень \( x_1 = -16 \) не имеет физического смысла, так как масса раствора не может быть отрицательной. Следовательно, остаётся корень:
\(
x_2 = 20
\)
Ответ: первоначальная масса раствора \( x = 20 \) кг.
Повторение курса алгебры
