ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 129 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На окружности и прямой, не пересекающей эту окружность, обозначили 12 точек — 5 на окружности и 7 на прямой. Из этих 12 точек наугад выбирают три. Какова вероятность того, что выбранные точки являются вершинами треугольника?

Отметили точки: \( A = 5 \) — на окружности; \( B = 7 \) — точек на прямой;
Точки являются вершинами треугольника:

\(
\frac{12!}{4! \cdot 3! \cdot 9!} \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2}
\)

\(
P(A) = \frac{37}{44}, \quad P(A) = 1 — P(A) = \frac{7}{44}
\)

Ответ:
\(
\frac{37}{44}
\)

Для того чтобы три точки могли быть вершинами треугольника, они не должны лежать на одной прямой. В данном случае у нас есть 5 точек на окружности и 7 точек на прямой.

Общее число способов выбрать 3 точки из 12:

\(
C_{12}^{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
\)

Теперь посчитаем количество способов выбрать 3 точки, которые лежат на одной прямой. Поскольку у нас есть только 7 точек на прямой, количество способов выбрать 3 точки из них:

\(
C_{7}^{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
\)

Таким образом, количество способов выбрать 3 точки, которые могут образовать треугольник (то есть не лежат на одной прямой):

\(
220 — 35 = 185
\)

Теперь вероятность того, что выбранные точки являются вершинами треугольника, будет равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\(
P = \frac{185}{220} = \frac{37}{44}
\)

Таким образом, вероятность того, что выбранные точки являются вершинами треугольника, равна

\(
\frac{37}{44}
\)