ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 146 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При некоторых значениях \(x\) и \(y\) выполняются равенства \(x + y = 6\) и \(xy = -3\). Найдите при этих же значениях \(x\) и \(y\) значения следующих выражений:
1) \(x^3 y^2 + x^2 y^3\);
2) \((x — y)^2\);
3) \(x^4 + y^4\).

Известно следующее:
\( x + y = 6, \, x \cdot y = -3; \)

1) \( x^3y^2 + x^2y^3 = x^2y^2 (x + y) = (xy)^2(x + y) = (-3)^2 \cdot 6 = 54; \)
Ответ: 54.

2) \( (x — y)^2 = (x + y)^2 — 4xy = 6^2 — 4 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48; \)
Ответ: 48.

3) \( x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 — 2x^2y^2 = ((x + y)^2 — 2xy)^2 — 2 \cdot (xy)^2 =\)
\(= 42^2 — 2 \cdot 9 — 1746; \)
Ответ: 1746.

Дано:

\( x + y = 6, \, x \cdot y = -3 \)

1. Найдем \( x^3y^2 + x^2y^3 \):

\(
x^3y^2 + x^2y^3 = x^2y^2 \cdot (x + y)
\)

Подставим значения \( x \cdot y = -3 \) и \( x + y = 6 \):

\(
x^2y^2 = (x \cdot y)^2 = (-3)^2 = 9
\)

Тогда:

\(
x^3y^2 + x^2y^3 = 9 \cdot 6 = 54
\)

Ответ: 54.

2. Найдем \( (x — y)^2 \):

\(
(x — y)^2 = (x + y)^2 — 4 \cdot x \cdot y
\)

Подставим значения \( x + y = 6 \) и \( x \cdot y = -3 \):

\(
(x — y)^2 = 6^2 — 4 \cdot (-3)
\)

\(
(x — y)^2 = 36 + 12 = 48
\)

Ответ: 48.

3. Найдем \( x^4 + y^4 \):

Для этого используем формулу:

\(
x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 — 2 \cdot x^2y^2
\)

Сначала найдем \( x^2 + y^2 \) через \( (x + y)^2 — 2xy \):

\(
x^2 + y^2 = (x + y)^2 — 2 \cdot x \cdot y
\)

Подставим значения \( x + y = 6 \) и \( x \cdot y = -3 \):

\(
x^2 + y^2 = 6^2 — 2 \cdot (-3)
\)

\(
x^2 + y^2 = 36 + 6 = 42
\)

Теперь подставим \( x^2 + y^2 = 42 \) и \( x^2y^2 = (xy)^2 = (-3)^2 = 9 \) в исходную формулу:

\(
x^4 + y^4 = (42)^2 — 2 \cdot 9
\)

\(
x^4 + y^4 = 1764 — 18 = 1746
\)

Ответ: 1746.