ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 156 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражение:}
\)

\(
\begin{align*}
1) &\quad \frac{4x+4y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x+y} \\
2) &\quad \frac{24b}{b^2-16} \cdot \frac{b-4}{3b} \\
3) &\quad \frac{8}{m^2-25n^2} \cdot (m-5n) \\
4) &\quad \frac{3c+6}{9c^2-6c+1} \cdot \frac{3c-1}{c+2} \\
5) &\quad \frac{a^2-4a+4}{a+2} : (a-2) \\
6) &\quad \frac{p^2-36k^2}{\frac{p+6k}{p}} \\
7) &\quad \frac{a^3-b^3}{a^3+b^3} \cdot \frac{b+a}{b-a} \\
8) &\quad \frac{a^4-16}{a^3-4a} \cdot \frac{a}{4+a^2} \\
9) &\quad \frac{a^2-7ab}{8b} : \frac{7b^2-ab}{32a} \\
\end{align*}
\)

1)
\(
\frac{4x + 4y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y} = \frac{4(x + y)}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y} = \frac{4}{x^3}
\)

2)
\(
\frac{24b}{b^2 — 16} \cdot \frac{b — 4}{3b} = \frac{8(b — 4)}{(b — 4)(b + 4)} = \frac{8}{b + 4}
\)

3)
\(
\frac{8}{m^2 — 25n^2} \cdot (m — 5n) = \frac{8(m — 5n)}{(m — 5n)(m + 5n)} = \frac{8}{m + 5n}
\)

4)
\(
\frac{3c + 6}{9c^2 — 6c + 1} \cdot \frac{3c — 1}{c + 2} = \frac{3(c + 2) \cdot (3c — 1)}{(3c — 1)^2 \cdot (c + 2)} = \frac{3}{3c — 1}
\)

5)
\(
\frac{a^2 — 4a + 4}{a + 2} : (a — 2) = \frac{(a — 2)^2}{(a + 2)(a — 2)} = \frac{a — 2}{a + 2}
\)

6)
\(
(p^2 — 36k^2) : \frac{p + 6k}{p} = \frac{p(p — 6k)(p + 6k)}{p + 6k} = p(p — 6k)
\)

7)
\(
\frac{a^3 — b^3}{a^3 + b^3} \cdot \frac{b + a}{b — a} = -\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 — ab + b^2} = \frac{a^2 + ab + b^2}{ab — a^2 — b^2}
\)

8)
\(
\frac{a^4 — 16}{a^3 — 4a} \cdot \frac{a}{4 + a^2} = \frac{(a^2 — 4)(a^2 + 4) \cdot a}{a(a^2 — 4) \cdot (a^2 + 4)} = 1
\)

9)
\(
\frac{a^2 — 7ab}{8b} : \frac{7b^2 — ab}{32a} = \frac{32a \cdot a(a — 7b)}{8b \cdot b(7b — a)} = -\frac{4a^2}{b^2}
\)

1)
\(
\frac{4x + 4y}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}
\)

Сначала вынесем общий множитель в числителе первого дроби:
\(
4x + 4y = 4(x + y)
\)

Подставляем:
\(
\frac{4(x + y)}{x^6} \cdot \frac{x^3}{x + y}
\)

Сокращаем \((x + y)\):
\(
\frac{4}{x^6} \cdot x^3 = \frac{4x^3}{x^6} = \frac{4}{x^3}
\)

2)
\(
\frac{24b}{b^2 — 16} \cdot \frac{b — 4}{3b}
\)

Разложим знаменатель на множители:
\(
b^2 — 16 = (b — 4)(b + 4)
\)

Подставляем:
\(
\frac{24b}{(b — 4)(b + 4)} \cdot \frac{b — 4}{3b}
\)

Сокращаем \(b\) и \(b — 4\):
\(
\frac{24}{(b + 4)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{b + 4}
\)

3)
\(
\frac{8}{m^2 — 25n^2} \cdot (m — 5n)
\)

Разложим знаменатель на множители:
\(
m^2 — 25n^2 = (m — 5n)(m + 5n)
\)

Подставляем:
\(
\frac{8}{(m — 5n)(m + 5n)} \cdot (m — 5n)
\)

Сокращаем \((m — 5n)\):
\(
\frac{8}{m + 5n}
\)

4)
\(
\frac{3c + 6}{9c^2 — 6c + 1} \cdot \frac{3c — 1}{c + 2}
\)

Вынесем множитель:
\(
3c + 6 = 3(c + 2)
\)

Разложим знаменатель:
\(
9c^2 — 6c + 1 = (3c — 1)^2
\)

Подставляем:
\(
\frac{3(c + 2)}{(3c — 1)^2} \cdot \frac{3c — 1}{c + 2}
\)

Сокращаем \((c + 2)\) и \(3c — 1\):
\(
\frac{3}{3c — 1}
\)

5)
\(
\frac{a^2 — 4a + 4}{a + 2} : (a — 2)
\)

Разложим числитель:
\(
a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2
\)

Подставляем:
\(
\frac{(a — 2)^2}{a + 2} : (a — 2)
\)

Деление заменяем умножением на обратное:
\(
\frac{(a — 2)^2}{a + 2} \cdot \frac{1}{a — 2} = \frac{a — 2}{a + 2}
\)

6)
\(
(p^2 — 36k^2) : \frac{p + 6k}{p}
\)

Разложим числитель:
\(
p^2 — 36k^2 = (p — 6k)(p + 6k)
\)

Деление заменяем умножением на обратное:
\(
(p — 6k)(p + 6k) \cdot \frac{p}{p + 6k}
\)

Сокращаем \(p + 6k\):
\(
p(p — 6k)
\)

7)
\(
\frac{a^3 — b^3}{a^3 + b^3} \cdot \frac{b + a}{b — a}
\)

Разложим числитель и знаменатель:
\(
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)
\)
\(
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\)

Подставляем:
\(
\frac{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 — ab + b^2)} \cdot \frac{b + a}{b — a}
\)

Поскольку \(b + a = a + b\), а \(b — a = -(a — b)\), заменяем:
\(
\frac{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}{(a + b)(a^2 — ab + b^2)} \cdot \frac{a + b}{-(a — b)}
\)

Сокращаем \((a — b)\) и \((a + b)\), получаем:
\(
-\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2 — ab + b^2}
\)

8)
\(
\frac{a^4 — 16}{a^3 — 4a} \cdot \frac{a}{4 + a^2}
\)

Разложим числитель:
\(
a^4 — 16 = (a^2 — 4)(a^2 + 4)
\)
\(
a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)
\)

Разложим знаменатель:
\(
a^3 — 4a = a(a^2 — 4) = a(a — 2)(a + 2)
\)

Подставляем:
\(
\frac{(a — 2)(a + 2)(a^2 + 4)}{a(a — 2)(a + 2)} \cdot \frac{a}{a^2 + 4}
\)

Сокращаем все множители:
\(
1
\)

9)
\(
\frac{a^2 — 7ab}{8b} : \frac{7b^2 — ab}{32a}
\)

Разложим числители:
\(
a^2 — 7ab = a(a — 7b)
\)
\(
7b^2 — ab = b(7b — a)
\)

Деление заменяем умножением на обратное:
\(
\frac{a(a — 7b)}{8b} \cdot \frac{32a}{b(7b — a)}
\)

\(
= \frac{a(a — 7b) \cdot 32a}{8b \cdot b(7b — a)}
\)

\(
= \frac{32a^2(a — 7b)}{8b^2(7b — a)}
\)

Заметим, что \((a — 7b) = -(7b — a)\), тогда:
\(
= \frac{32a^2 \cdot -(7b — a)}{8b^2(7b — a)} = -\frac{32a^2}{8b^2} = -\frac{4a^2}{b^2}
\)