ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 161 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)
\(
\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 — 25}{a^2 + ab — 5a — 5b}
\)

2)
\(
\frac{a^2 — a + ab — b}{a^2 — a — ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a — ab — b}
\)

1)
\(
\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 — 25}{a^2 + ab — 5a — 5b} = \frac{a(a+b) + 5(a+b)}{(a + b)^2} : \frac{a(a+b) — 5(a+b)}{(a + 5)(a — 5)} =
\)
\(
= \frac{(a + 5)(a + b)(a — 5)(a + b)}{(a + b)^2(a + 5)(a — 5)} = 1
\)

2)
\(
\frac{a^2 — a + ab — b}{a^2 — a — ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a — ab — b} = \frac{a(a — 1) + b(a — 1)}{a(a + 1) — b(a + 1)} : \frac{a(a — 1)}{a(a + 1) + b(a + 1)} =
\)
\(
= \frac{(a + b)(a — 1)(a — b)(a + 1)}{(a — b)(a — 1)(a + b)(a + 1)} = 1
\)

Таким образом, оба выражения упрощаются до 1.

1) Упростим выражение:

\(
\frac{a^2 + ab + 5a + 5b}{a^2 + 2ab + b^2} : \frac{a^2 — 25}{a^2 + ab — 5a — 5b}
\)

Шаг 1. Разложим числители и знаменатели на множители.

— \( a^2 + ab + 5a + 5b = a(a+b) + 5(a+b) = (a+5)(a+b) \)
— \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \)
— \( a^2 — 25 = (a+5)(a-5) \)
— \( a^2 + ab — 5a — 5b = a(a+b) — 5(a+b) = (a-5)(a+b) \)

Подставим разложения в начальное выражение:

\(
\frac{(a+5)(a+b)}{(a+b)^2} : \frac{(a+5)(a-5)}{(a-5)(a+b)}
\)

Шаг 2. Преобразуем деление в умножение:

\(
\frac{(a+5)(a+b)}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a-5)(a+b)}{(a+5)(a-5)}
\)

Шаг 3. Сократим одинаковые множители:

— Сократим \( (a+5) \), \( (a+b) \), и \( (a-5) \):

\(
1
\)

Таким образом, первое выражение упрощается до:

\(
1
\)

2) Упростим второе выражение:

\(
\frac{a^2 — a + ab — b}{a^2 — a — ab + b} : \frac{a^2 + a + ab + b}{a^2 + a — ab — b}
\)

Шаг 1. Разложим числители и знаменатели на множители.

— \( a^2 — a + ab — b = a(a-1) + b(a-1) = (a+b)(a-1) \)
— \( a^2 — a — ab + b = a(a-1) — b(a-1) = (a-b)(a-1) \)
— \( a^2 + a + ab + b = a(a+1) + b(a+1) = (a+b)(a+1) \)
— \( a^2 + a — ab — b = a(a+1) — b(a+1) = (a-b)(a+1) \)

Подставим разложения в начальное выражение:

\(
\frac{(a+b)(a-1)}{(a-b)(a-1)} : \frac{(a+b)(a+1)}{(a-b)(a+1)}
\)

Шаг 2. Преобразуем деление в умножение:

\(
\frac{(a+b)(a-1)}{(a-b)(a-1)} \cdot \frac{(a-b)(a+1)}{(a+b)(a+1)}
\)

Шаг 3. Сократим одинаковые множители:

— Сократим \( (a+b) \), \( (a-b) \), \( (a-1) \), и \( (a+1) \):

\(
1
\)

Таким образом, второе выражение также упрощается до:

\(
1
\)