ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 162 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1)
\(
\left( \frac{m}{m-2} — 1 \right) : \frac{6m}{nb — 2n}
\)

2)
\(
\frac{a}{b} — \frac{b}{a} : \frac{a + b}{2ab}
\)

3)
\(
\frac{6x}{x + 2} — \frac{x — 6}{3x + 6} \cdot \frac{72}{x^2 — 6x}
\)

4)
\(
\left( a — \frac{15a — 25}{a + 5} \right) : \frac{a^2 — 5a}{a + 5}
\)

5)
\(
\frac{k + 4}{k^2 — 6k + 9} : \frac{k^2 — 16}{2k — 6} — \frac{2}{k — 4}
\)

6)
\(
\left( \frac{m + 1}{m — 1} — \frac{m — 1}{m + 1} \right) : \frac{4m}{1 — m^2}
\)

7)
\(
\frac{2x}{x^2 — 1} : \left( \frac{1}{x^2 + 2x + 1} — \frac{1}{1 — x^2} \right)
\)

8)
\(
\left( \frac{2a — 6}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a — 4}{a^2 — 2a} \right) : \frac{a^2 — 8}{a^3 — 4a}
\)

9)
\(
\frac{9a^2 — 4}{2a^2 — 5a + 2} \cdot \frac{2a — 1}{3a — 2} + \frac{a + 6}{2 — a}
\)

10)
\(
\frac{b^3 + 2b}{b^2 — 1} : \left( \frac{b + 1}{2b^2 — 3b + 1} — \frac{1}{b^2 — 1} \right)
\)

1)
\(
\left( \frac{m}{m-2} — 1 \right) : \frac{6m}{mn-2n} = \frac{m-m+2}{m-2} \cdot \frac{n(m-2)}{6m} = \frac{2n}{6m} = \frac{n}{3m}
\)

2)
\(
\left( \frac{a}{b} — \frac{b}{a} \right) : \frac{a+b}{2ab} = \frac{a^2 — b^2}{ab} \cdot \frac{2ab}{a+b} = \frac{2(a-b)(a+b)}{ab(a+b)} = 2(a-b)
\)

3)
\(
\frac{6x}{x+2} — \frac{x-6}{3x+6} \cdot \frac{72}{x^2-6x} = \frac{6x}{x+2} — \frac{(x-6)\cdot72}{3(x+2)\cdot x(x-6)} = \frac{6x}{x+2} — \frac{24}{x(x+2)} = \frac{6x^2-24}{x(x+2)} =
\)
\(
= \frac{6(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{6(x-2)}{x}
\)

4)
\(
\left( a — \frac{15a-25}{a+5} \right) : \frac{a^2-5a}{a+5} = \frac{a(a+5)-15a+25}{a+5} \cdot \frac{a+5}{a(a-5)} = \frac{a^2+5a-15a+25}{a(a-5)} = \frac{a^2-10a+25}{a(a-5)} =
\)
\(
= \frac{(a-5)^2}{a(a-5)} = \frac{a-5}{a}
\)

5)
\(
\frac{k+4}{k^2-6k+9} : \frac{k^2-16}{2k-6} — \frac{2}{k-4} = \frac{k+4}{(k-3)^2} \cdot \frac{2(k-3)}{(k-4)(k+4)} — \frac{2}{k-4} = \frac{2}{(k-3)(k-4)} — \frac{2}{k-4} =
\)
\(
= \frac{2-2(k-3)}{(k-3)(k-4)} = \frac{2(4-k)}{(k-3)(k-4)} = \frac{2}{3-k}
\)

6)
\(
\left( \frac{m+1}{m-1} — \frac{m-1}{m+1} \right) : \frac{4m}{1-m^2} = \frac{(m+1)^2-(m-1)^2}{m^2-1} \cdot \frac{1-m^2}{4m} = \frac{m^2+2m+1-(m^2-2m+1)}{4m} =
\)
\(
= \frac{2m+2m}{4m} = -\frac{4m}{4m} = -1
\)

7)
\(
\frac{2x}{x^2 — 1} : \left( \frac{1}{x^2 + 2x + 1} — \frac{1}{1 — x^2} \right) = \frac{2x}{x^2 — 1} : \frac{(1 — x) — (1 + x)}{(x + 1)^2 \cdot (1 — x)} = \frac{2x}{x^2 — 1} \cdot \frac{(x+1)^2 \cdot (1-x)}{1-x-1-x} =
\)
\(
= \frac{2x \cdot (x+1)}{-(-2x)} = x + 1
\)

8)
\(
\left( \frac{2a — 6}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a — 4}{a^2 — 2a} \right) : \frac{a^2 — 8}{a^3 — 4a} = \frac{a(2a — 6) — (a-4)(a-2)}{(a — 2)^2 \cdot a} \cdot \frac{a(a^2 — 4)}{a^2 — 8} =
\)
\(
= \frac{2a^2 — 6a — a^2 + 6a — 8}{(a-2)^2 \cdot a} \cdot \frac{a(a^2 — 4)}{a^2 — 8} = \frac{a^2 — 8}{a-2} \cdot \frac{a+2}{a^2 — 8} = \frac{a + 2}{a — 2}
\)

9)
\(
\frac{9a^2 — 4}{2a^2 — 5a + 2} \cdot \frac{2a — 1}{3a — 2} + \frac{a + 6}{2 — a} = \frac{(3a-2)(3a+2)}{(2a-1)(a-2)} \cdot \frac{2a-1}{3a-2} + \frac{a+6}{2-a} = \frac{3a+2}{a-2} + \frac{a+6}{a-2} =
\)
\(
= \frac{2a+4}{a-2} = 2
\)

10)
\(
\frac{b^3 + 2b}{b^2 — 1} : \left( \frac{b+1}{2b^2 — 3b + 1} — \frac{1}{b^2 — 1} \right) = \frac{b(b^2 + 2)}{b^2 — 1} : \frac{b+1}{(2b-1)(b-1)} — \frac{1}{(b-1)(b+1)} =
\)
\(
= \frac{b(b^2 + 2)}{b^2 — 1} : \frac{(b+1)^2 — (2b-1)}{(2b-1)(b+1)(b-1)} = \frac{b(b^2 + 2) \cdot (2b-1)(b+1)}{(b+1)(b^2 + 2b + 1 — 2b + 1)} =
\)
\(
= \frac{b(b^2 + 2)(2b-1)}{b^2 + 2} = b(2b-1)
\)

1)
\(
\left( \frac{m}{m-2} — 1 \right) : \frac{6m}{mn-2n}
\)
Сначала упростим разность:
\(
\frac{m}{m-2} — 1 = \frac{m — (m-2)}{m-2} = \frac{2}{m-2}
\)
Теперь деление заменим умножением на обратную дробь:
\(
\frac{2}{m-2} : \frac{6m}{mn-2n} = \frac{2}{m-2} \cdot \frac{mn-2n}{6m}
\)
Вынесем \( n \) за скобку в числителе второй дроби:
\(
= \frac{2}{m-2} \cdot \frac{n(m-2)}{6m}
\)
Сократим \( m-2 \):
\(
= \frac{2n}{6m} = \frac{n}{3m}
\)

2)
\(
\left( \frac{a}{b} — \frac{b}{a} \right) : \frac{a+b}{2ab}
\)
Вычтем дроби:
\(
\frac{a}{b} — \frac{b}{a} = \frac{a^2 — b^2}{ab}
\)
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
\(
\frac{a^2 — b^2}{ab} \cdot \frac{2ab}{a+b}
\)
Разложим \( a^2 — b^2 = (a-b)(a+b) \), сократим \( a+b \):
\(
= \frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{2ab}{a+b} = 2(a-b)
\)

3)
\(
\frac{6x}{x+2} — \frac{x-6}{3x+6} \cdot \frac{72}{x^2-6x}
\)
Преобразуем вторую дробь:
\(
3x+6 = 3(x+2), \quad x^2-6x = x(x-6)
\)
Тогда:
\(
\frac{x-6}{3x+6} \cdot \frac{72}{x^2-6x} = \frac{x-6}{3(x+2)} \cdot \frac{72}{x(x-6)} = \frac{72}{3x(x+2)} = \frac{24}{x(x+2)}
\)
Теперь:
\(
\frac{6x}{x+2} — \frac{24}{x(x+2)} = \frac{6x^2 — 24}{x(x+2)} = \frac{6(x^2-4)}{x(x+2)} = \frac{6(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{6(x-2)}{x}
\)

4)
\(
\left( a — \frac{15a-25}{a+5} \right) : \frac{a^2-5a}{a+5}
\)
Вычтем дроби:
\(
a — \frac{15a-25}{a+5} = \frac{a(a+5) — (15a-25)}{a+5} = \frac{a^2 + 5a — 15a + 25}{a+5} = \frac{a^2 — 10a + 25}{a+5}
\)
Теперь делим на \(\frac{a^2-5a}{a+5}\), заменяя деление на умножение на обратную:
\(
\frac{a^2 — 10a + 25}{a+5} \cdot \frac{a+5}{a^2-5a}
\)
Разложим \( a^2 — 10a + 25 = (a-5)^2 \), \( a^2 — 5a = a(a-5) \):
\(
= \frac{(a-5)^2}{a(a-5)} = \frac{a-5}{a}
\)

5)
\(
\frac{k+4}{k^2-6k+9} : \frac{k^2-16}{2k-6} — \frac{2}{k-4}
\)
Заметим, что \( k^2-6k+9 = (k-3)^2 \), \( k^2-16 = (k-4)(k+4) \), \( 2k-6 = 2(k-3) \):
\(
\frac{k+4}{(k-3)^2} : \frac{(k-4)(k+4)}{2(k-3)} — \frac{2}{k-4}
\)
Заменим деление на умножение на обратную:
\(
\frac{k+4}{(k-3)^2} \cdot \frac{2(k-3)}{(k-4)(k+4)} = \frac{2}{(k-3)(k-4)}
\)
Теперь вычтем:
\(
\frac{2}{(k-3)(k-4)} — \frac{2}{k-4} = \frac{2 — 2(k-3)}{(k-3)(k-4)} = \frac{2 — 2k + 6}{(k-3)(k-4)} = \frac{8-2k}{(k-3)(k-4)} = \frac{2(4-k)}{(k-3)(k-4)}
\)
Инвертируем знак:
\(
= \frac{2}{3-k}
\)

6)
\(
\left( \frac{m+1}{m-1} — \frac{m-1}{m+1} \right) : \frac{4m}{1-m^2}
\)
Вычтем дроби:
\(
\frac{m+1}{m-1} — \frac{m-1}{m+1} = \frac{(m+1)^2 — (m-1)^2}{m^2-1}
\)
Посчитаем числитель:
\(
(m+1)^2 — (m-1)^2 = (m^2 + 2m + 1) — (m^2 — 2m + 1) = 4m
\)
Итак:
\(
\frac{4m}{m^2-1}
\)
Теперь делим на \(\frac{4m}{1-m^2}\), заменяя деление на умножение на обратную:
\(
\frac{4m}{m^2-1} \cdot \frac{1-m^2}{4m}
\)
Заметим, что \( 1-m^2 = -(m^2-1) \):
\(
= \frac{4m}{m^2-1} \cdot \frac{-(m^2-1)}{4m} = -1
\)

7)
\(
\frac{2x}{x^2 — 1} : \left( \frac{1}{x^2 + 2x + 1} — \frac{1}{1 — x^2} \right)
\)
Вычислим разность:
\(
\frac{1}{x^2 + 2x + 1} — \frac{1}{1 — x^2}
\)
Заметим, что \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \), \( 1-x^2 = (1-x)(1+x) \):
\(
\frac{1}{(x+1)^2} — \frac{1}{(1-x)(x+1)}
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
= \frac{1 — (x+1)}{(x+1)^2(1-x)} = \frac{1-x-1}{(x+1)^2(1-x)} = \frac{-x}{(x+1)^2(1-x)}
\)
Теперь делим:
\(
\frac{2x}{x^2-1} : \frac{-x}{(x+1)^2(1-x)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)^2(1-x)}{-x}
\)
Заметим, что \( 1-x = -(x-1) \):
\(
= \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)^2(-1)(x-1)}{-x}
\)
Сократим \( x \), \( x-1 \), \( x+1 \):
\(
= \frac{2(x+1)}{2} = x+1
\)

8)
\(
\left( \frac{2a — 6}{a^2 — 4a + 4} — \frac{a — 4}{a^2 — 2a} \right) : \frac{a^2 — 8}{a^3 — 4a}
\)
Разложим знаменатели:
\(
a^2 — 4a + 4 = (a-2)^2, \quad a^2 — 2a = a(a-2), \quad a^3 — 4a = a(a^2-4) = a(a-2)(a+2)
\)
Вычтем дроби:
\(
\frac{2a-6}{(a-2)^2} — \frac{a-4}{a(a-2)} = \frac{a(2a-6) — (a-4)(a-2)}{a(a-2)^2}
\)
Распишем числитель:
\(
a(2a-6) = 2a^2 — 6a
\)
\(
(a-4)(a-2) = a^2 — 2a — 4a + 8 = a^2 — 6a + 8
\)
\(
2a^2 — 6a — (a^2 — 6a + 8) = 2a^2 — 6a — a^2 + 6a — 8 = a^2 — 8
\)
Теперь:
\(
\frac{a^2 — 8}{a(a-2)^2}
\)
Делим на \(\frac{a^2-8}{a(a-2)(a+2)}\), заменяя деление на умножение на обратную:
\(
\frac{a^2 — 8}{a(a-2)^2} \cdot \frac{a(a-2)(a+2)}{a^2 — 8} = \frac{a+2}{a-2}
\)

9)
\(
\frac{9a^2 — 4}{2a^2 — 5a + 2} \cdot \frac{2a — 1}{3a — 2} + \frac{a + 6}{2 — a}
\)
Разложим:
\(
9a^2 — 4 = (3a-2)(3a+2)
\)
\(
2a^2 — 5a + 2 = (2a-1)(a-2)
\)
Тогда:
\(
\frac{(3a-2)(3a+2)}{(2a-1)(a-2)} \cdot \frac{2a-1}{3a-2} = \frac{3a+2}{a-2}
\)
\(
\frac{a+6}{2-a} = -\frac{a+6}{a-2}
\)
Сложим:
\(
\frac{3a+2}{a-2} — \frac{a+6}{a-2} = \frac{3a+2-a-6}{a-2} = \frac{2a-4}{a-2} = 2
\)

10)
\(
\frac{b^3 + 2b}{b^2 — 1} : \left( \frac{b+1}{2b^2 — 3b + 1} — \frac{1}{b^2 — 1} \right)
\)
Разложим:
\(
b^3 + 2b = b(b^2+2), \quad b^2-1 = (b-1)(b+1), \quad 2b^2-3b+1 = (2b-1)(b-1)
\)
Вычтем дроби:
\(
\frac{b+1}{(2b-1)(b-1)} — \frac{1}{(b-1)(b+1)} = \frac{(b+1)^2 — (2b-1)}{(2b-1)(b-1)(b+1)}
\)
\(
(b+1)^2 — (2b-1) = b^2 + 2b + 1 — 2b + 1 = b^2 + 2
\)
Теперь делим:
\(
\frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)} : \frac{b^2+2}{(2b-1)(b-1)(b+1)} = \frac{b(b^2+2)}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{(2b-1)(b-1)(b+1)}{b^2+2}
\)
Сократим \( b^2+2 \), \( b-1 \), \( b+1 \):
\(
= b(2b-1)
\)