Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 165 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1)
\(
\frac{2x — 1}{2x + 1} = 4
\)
\(
\frac{2x + 1}{2x — 1} = \frac{1}{4x^2}
\)
\(
(2x — 1)^2 — (2x + 1)^2 = (2x + 1)(2x — 1) \cdot 4
\)
\(
1 — 4x^2 = -4x — 4x
\)
\(
4x^2 — 1 = 1 — 4x^2
\)
\(
8x = 4, \quad x = 0.5
\)
\(
2x + 1 \neq 0, \quad x \neq -0.5; \quad 2x — 1 \neq 0, \quad x \neq 0.5
\)
Ответ: корней нет.
2)
\(
\frac{x^2 + 8x}{x + 10} = x + 10
\)
\(
x^2 + 8x = 20, \quad x^2 + 8x — 20 = 0
\)
\(
D = (8)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 + 80 = 144
\)
\(
x_1 = \frac{-8 — 12}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2
\)
\(
x + 10 \neq 0, \quad x \neq -10
\)
Ответ: \( x = 2 \).
x^2 — 4
3)
\(
\frac{x+1}{x+1}
\)
\(
x^2 — 4 = 3x, \quad x^2 — 3x — 4 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{3 — 5}{2} = -1
\)
\(
x + 1 \neq 0, \quad x \neq -1;
\)
Ответ: \( x = 4 \).
4)
\(
\frac{x^2 + 8x + 2}{x^2 — 4}
\)
\(
(x+1)(x+2) + x(x-2) = \frac{(x-2)(x+2)}{8}
\)
\(
x^2 + 2x + x + 2 + x^2 — 2x = \frac{8}{x^2 — 4}
\)
\(
2x^2 + x + 2 = 8, \quad 2x^2 + x — 6 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = 1.5
\)
\(
x+2 \neq 0, \quad x \neq -2; \quad x-2 \neq 0, \quad x \neq 2;
\)
Ответ: \( x = 1.5 \).
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4
\)
\(
x + 3 \neq 0, \quad x \neq -3; \quad x — 3 \neq 0, \quad x \neq 3;
\)
Ответ: \( x = 4 \).
6)
\(
\frac{x^2 — 5x}{x — 5} = \frac{x}{10}, \quad \frac{x — 3}{1} = \frac{x(x — 5)}{x — 5}
\)
\(
x(x — 3) = \frac{10}{x}, \quad x(x — 5)
\)
\(
10 — x^2 + 3x = 1, \quad x — 5
\)
\(
(x + 2)(5 — x) = 1, \quad x — 5
\)
\(
x + 2 = -1, \quad x = -3;
\)
\(
x — 5 \neq 0, \quad x \neq 5; \quad x \neq 0;
\)
Ответ: \( x = -3 \).
7)
\(
\frac{4x}{x^2 — 4x + 4} = \frac{x + 2}{1}
\)
\(
\frac{x^2 — 2x}{4x} = \frac{x + 2}{1}
\)
\(
(x — 2)(x — 2) = x(x — 2)
\)
\(
4x^2 — (x + 2)(x — 2) = x(x — 2)
\)
4x^2 — x^2 + 4 = (x — 2)^2;
3x^2 + 4 = x^2 — 4x + 4;
2x \cdot (x + 2) = 0;
x_1 = 0, \quad x_2 = -2;
x — 2 \neq 0, \quad x \neq 2, \quad x \neq 0;
Ответ: \( x = -2 \).
8)
\(
\frac{4}{x^2 — 49} + \frac{2}{x^2 — 7x} + \frac{-4}{x^2 + 7x} = 0;
\)
\(
\frac{4}{(x — 7)(x + 7)} + \frac{2}{x(x — 7)} + \frac{-4}{x(x + 7)} = 0;
\)
\(
\frac{4x — 2(x + 7) + (x — 4)(x — 7)}{x(x — 7)(x + 7)} = 0;
\)
\(
4x — 2x — 14 + x^2 — 7x — 4x + 28 = 0;
\)
\(
x^2 — 9x + 14 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7;
\)
\( x + 7 \neq 0, \quad x \neq -7; \quad x — 7 \neq 0, \quad x \neq 7;
\)
Ответ: \( x = 2 \).
1) \(
\frac{2x — 1}{2x + 1} = 4
\)
Решение:
Преобразуем левую часть уравнения:
\(
\frac{2x + 1}{2x — 1} = \frac{1}{4x^2}
\)
Умножим обе части уравнения на $(2x — 1)(2x + 1)$:
\(
(2x — 1)^2 — (2x + 1)^2 = (2x + 1)(2x — 1) \cdot 4
\)
Упростим левую часть:
\(
1 — 4x^2 = -4x — 4x
\)
Перенесем все члены в одну часть:
\(
4x^2 — 1 = 1 — 4x^2
\)
Решим полученное уравнение:
\(
8x = 4, \quad x = 0.5
\)
Область определения:
\(
2x + 1 \neq 0, \quad x \neq -0.5; \quad 2x — 1 \neq 0, \quad x \neq 0.5
\)
Ответ: корней нет.
2) \(
\frac{x^2 + 8x}{x + 10} = x + 10
\)
Решение:
Умножим обе части уравнения на $(x + 10)$:
\(
x^2 + 8x = 20, \quad x^2 + 8x — 20 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = (8)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 + 80 = 144
\)
Найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-8 — 12}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2
\)
Область определения:
\(
x + 10 \neq 0, \quad x \neq -10
\)
Ответ: \( x = 2 \).
3) \(
\frac{x^2 — 4}{x+1}
\)
Решение:
\(
x^2 — 4 = 3x, \quad x^2 — 3x — 4 = 0;
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad тогда:
\)
Найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{3 — 5}{2} = -1
\)
Область определения:
\(
x + 1 \neq 0, \quad x \neq -1;
\)
Ответ: \( x = 4 \).
4) \(
\frac{x^2 + 8x + 2}{x^2 — 4}
\)
Решение:
Преобразуем левую часть:
\(
(x+1)(x+2) + x(x-2) = \frac{(x-2)(x+2)}{8}
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
x^2 + 2x + x + 2 + x^2 — 2x = \frac{8}{x^2 — 4}
\)
Упростим:
\(
2x^2 + x + 2 = 8, \quad 2x^2 + x — 6 = 0;
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49, \quad тогда:
\)
Найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = 1.5
\)
Область определения:
\(
x+2 \neq 0, \quad x \neq -2; \quad x-2 \neq 0, \quad x \neq 2;
\)
Ответ: \( x = 1.5 \).
5) \(
\frac{x+1}{x+3} + \frac{x-1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9}
\)
Решение:
Преобразуем левую часть:
\(
\frac{x^2 + 2x — 3}{(x+3)(x-3)}
\)
Приравняем левую и правую части:
\(
\frac{x^2 + 2x — 3}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x+18}{x^2-9}
\)
Умножим обе части на $(x+3)(x-3)$:
\(
x^2 + 2x — 3 = (2x+18)(x-3)
\)
Раскроем скобки:
\(
x^3 + 2x^2 — 3x — 6x — 54 = 2x^2 — 6x + 18
\)
Приведем подобные члены:
\(
x^3 + 4x^2 — 9x — 36 = 0
\)
Решим это уравнение численными методами.
6) \(
\frac{10}{x^2-5x} — \frac{x-3}{x-5} = \frac{1}{x}
\)
Решение:
Преобразуем левую часть:
\(
\frac{10(x-5) — (x-3)(x^2-5x)}{(x-5)(x^2-5x)} = \frac{-x^3+18x^2-65x+50}{(x-5)(x^2-5x)}
\)
Приравняем левую и правую части:
\(
\frac{-x^3+18x^2-65x+50}{(x-5)(x^2-5x)} = \frac{1}{x}
\)
Умножим обе части на $(x-5)(x^2-5x)$:
\(
-x^3+18x^2-65x+50 = (x-5)(x^2-5x)
\)
Раскроем скобки:
\(
-x^3+18x^2-65x+50 = x^3-5x^2
\)
Приведем подобные члены:
\(
-23x^2+60x-50 = 0
\)
Решим это уравнение численными методами.
7) \(
\frac{4x}{x^2-4x+4} = \frac{x+2}{1}
\)
Решение:
Преобразуем левую часть:
\(
\frac{x^2-2x}{4x} = \frac{x+2}{1}
\)
Умножим обе части на $4x$:
\(
(x-2)(x-2) = x(x-2)
\)
Раскроем скобки:
\(
4x^2 — (x+2)(x-2) = x(x-2)
\)
Упростим:
\(
4x^2 — x^2 + 4 = (x-2)^2
\)
Сгруппируем:
\(
3x^2 + 4 = x^2 — 4x + 4
\)
Решим полученное уравнение:
\(
2x(x+2) = 0
\)
Ответ: \( x = -2 \).
8) \(
\frac{4}{x^2-49} + \frac{2}{x^2-7x} + \frac{-4}{x^2+7x} = 0
\)
Решение:
Преобразуем левую часть:
\(
\frac{4x-2(x+7)+(x-4)(x-7)}{x(x-7)(x+7)} = 0
\)
Раскроем скобки:
\(
4x — 2x — 14 + x^2 — 7x — 4x + 28 = 0
\)
Упростим:
\(
x^2 — 9x + 14 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25
\)
Найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{9 — 5}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{9 + 5}{2} = 7
\)
Область определения:
\(
x + 7 \neq 0, \quad x \neq -7; \quad x — 7 \neq 0, \quad x \neq 7
\)
Ответ: \( x = 2 \).
Повторение курса алгебры
