Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 170 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) \((x^2+6x)^2+(x^2+6x)-56=0\);
Пусть \(y = x^2 + 6x\), тогда: \(y^2 + y — 56 = 0\);
\[D = (1)^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225,\] тогда:
\[y_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 15}{2} = 7.\]
Первое значение: \(x^2 + 6x = -8\), \(x^2 + 6x + 8 = 0\);
\[D = (6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4,\] тогда:
\[x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-6 — 2}{2} = -4.\]
Второе значение: \(x^2 + 6x = 7\), \(x^2 + 6x — 7 = 0\);
\[D = (6)^2 — 4 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64,\] тогда:
\[x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6 — 8}{2} = -7.\]
Ответ: \(-7; -4; -2; 1.\)
Пусть \(y = x^2 + 4x + 3\), тогда: \(y(y+2) = 15\), \(y^2 + 2y — 15 = 0\);
\[D = (2)^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,\] тогда:
\[y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3.\]
Первое значение:
\(x^2 + 4x + 3 = -5\), \(x^2 + 4x + 8 = 0\);
\[D = (4)^2 — 4 \cdot 8 = 16 — 32 = -16.\]
Второе значение:
\(x^2 + 4x + 3 = 3\), \(x^2 + 4x = 0\);
\[x(x + 4) = 0,\]
\[x_1 = 0, \quad x_2 = -4.\]
Ответ: \(-4; 0.\)
3) Уравнение:
\[
\frac{x^4}{(x + 4)^2} + \frac{23x^2}{(x + 4)} — 50 = 0.
\]
Пусть \(y = \frac{x^2}{(x + 4)}\), тогда:
\[y^2 + 23y — 50 = 0.\]
Дискриминант:
\[D = (23)^2 + 4 \cdot 50 = 529 + 200 = 729.\]
Корни:
\[y_1 = \frac{-23 — 27}{2} = -25, \quad y_2 = \frac{-23 + 27}{2} = 2.\]
Первое значение:
\(\frac{x^2}{(x + 4)} = -25\), тогда:
\[x^2 + 25x + 100 = 0.\]
Дискриминант:
\[D = (25)^2 — 4 \cdot 100 = 625 — 400 = 225.\]
Корни:
\[x_1 = \frac{-25 — 15}{2} = -20, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{2} = -5.\]
Второе значение:
\[
\frac{x^2}{x + 4} = 2, \quad x^2 — 2x — 8 = 0;
\]
Дискриминант:
\[
D = (2)^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\]
Ответ: \(-20; -5; -2; 4.\)
4) Уравнение:
\[
\frac{x + 3}{x — 2} — \frac{x — 2}{x + 3} = \frac{3}{2}.
\]
Пусть \(y = \frac{x + 3}{x — 2}\), тогда:
\[
y — \frac{1}{y} = \frac{3}{2}.
\]
Приведём к квадратному уравнению:
\[
2y^2 — 3y — 2 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = (3)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25.
\]
Корни:
\[
y_1 = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2.
\]
Первое значение:
\[
\frac{x + 3}{x — 2} = -\frac{1}{2}, \quad (x + 3) = -\frac{1}{2} (x — 2).
\]
Решим уравнение:
\[
2(x + 3) = -(x — 2), \quad 2x + 6 = -x + 2, \quad 3x = -4, \quad x = -\frac{4}{3}.
\]
Второе значение:
\[
\frac{x + 3}{x — 2} = 2, \quad x + 3 = 2(x — 2).
\]
Решим уравнение:
\[
x + 3 = 2x — 4, \quad x = 7.
\]
Ответ: \(x = -\frac{4}{3}; \, x = 7.\)
1) \(
(x^2+6x)^2+(x^2+6x)-56=0
\)
Решение:
Пусть \(y = x^2 + 6x\), тогда уравнение примет вид:
\(
y^2 + y — 56 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\[
D = (1)^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225
\]
Тогда корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 15}{2} = 7
\]
Для первого значения \(y = -8\):
\(
x^2 + 6x = -8, \quad x^2 + 6x + 8 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\[
D = (6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4
\]
Тогда корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-6 — 2}{2} = -4
\]
Для второго значения \(y = 7\):
\(
x^2 + 6x = 7, \quad x^2 + 6x — 7 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\[
D = (6)^2 — 4 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64
\]
Тогда корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6 — 8}{2} = -7
\]
Ответ: \(-7; -4; -2; 1\)
2) Пусть \(y = x^2 + 4x + 3\), тогда: \(y(y+2) = 15\), \(y^2 + 2y — 15 = 0\)
Найдем дискриминант:
\[
D = (2)^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64
\]
Тогда корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3
\]
Для первого значения \(y = -5\):
\(
x^2 + 4x + 3 = -5, \quad x^2 + 4x + 8 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\[
D = (4)^2 — 4 \cdot 8 = 16 — 32 = -16
\]
Корней нет, так как дискриминант отрицательный.
Для второго значения \(y = 3\):
\(
x^2 + 4x + 3 = 3, \quad x^2 + 4x = 0
\)
Решим уравнение:
\[
x(x + 4) = 0, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = -4
\]
Ответ: \(-4; 0\)
3) Уравнение:
\[
\frac{x^4}{(x + 4)^2} + \frac{23x^2}{(x + 4)} — 50 = 0
\]
Пусть \(y = \frac{x^2}{(x + 4)}\), тогда:
\[
y^2 + 23y — 50 = 0
\]
Найдем дискриминант:
\[
D = (23)^2 + 4 \cdot 50 = 529 + 200 = 729
\]
Тогда корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{-23 — 27}{2} = -25, \quad y_2 = \frac{-23 + 27}{2} = 2
\]
Для первого значения \(y = -25\):
\(
\frac{x^2}{(x + 4)} = -25, \quad x^2 + 25x + 100 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\[
D = (25)^2 — 4 \cdot 100 = 625 — 400 = 225
\]
Тогда корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-25 — 15}{2} = -20, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{2} = -5
\]
Для второго значения \(y = 2\):
\(
\frac{x^2}{x + 4} = 2, \quad x^2 — 2x — 8 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\[
D = (2)^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36
\]
Тогда корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4
\]
Ответ: \(-20; -5; -2; 4\)
4) Уравнение:
\[
\frac{x + 3}{x — 2} — \frac{x — 2}{x + 3} = \frac{3}{2}
\]
Пусть \(y = \frac{x + 3}{x — 2}\), тогда:
\[
y — \frac{1}{y} = \frac{3}{2}
\]
Приведем к квадратному уравнению:
\[
2y^2 — 3y — 2 = 0
\]
Найдем дискриминант:
\[
D = (3)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25
\]
Тогда корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2
\]
Для первого значения \(y = -\frac{1}{2}\):
\[
\frac{x + 3}{x — 2} = -\frac{1}{2}, \quad (x + 3) = -\frac{1}{2} (x — 2)
\]
Решим уравнение:
\[
2(x + 3) = -(x — 2), \quad 2x + 6 = -x + 2, \quad 3x = -4, \quad x = -\frac{4}{3}
\]
Для второго значения \(y = 2\):
\[
\frac{x + 3}{x — 2} = 2, \quad x + 3 = 2(x — 2)
\]
Решим уравнение:
\[
x + 3 = 2x — 4, \quad x = 7
\]
Ответ: \(x = -\frac{4}{3}; \, x = 7\)
Повторение курса алгебры
