ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 170 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\begin{aligned}
&\text{Решите уравнения:} \\
&1)\quad x^4 — 10x^2 + 24 = 0; \\
&2)\quad x^4 + 2x^2 — 24 = 0; \\
&3)\quad x^4 — 3x^2 — 70 = 0; \\
&4)\quad 4x^4 — 5x^2 + 1 = 0.
\end{aligned}
\)

1) Пусть \( y = x^2 + 6x \), тогда:
\( y^2 + y — 56 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (1)^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225 \), тогда:
\( y_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -8 \),
\( y_2 = \frac{-1 + 15}{2} = 7 \).

Первое значение: \( x^2 + 6x = -8 \),
\( x^2 + 6x + 8 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2 \),
\( x_2 = \frac{-6 — 2}{2} = -4 \).

Второе значение: \( x^2 + 6x = 7 \),
\( x^2 + 6x — 7 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \),
\( x_2 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \).

Ответ: \( -7; -4; -2; 1 \).

2) Пусть \( y = x^2 + 4x + 3 \), тогда:
\( y(y + 2) = 15 \),
\( y^2 + 2y — 15 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (2)^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64 \), тогда:
\( y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5 \),
\( y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3 \).

Первое значение:
\( x^2 + 4x + 3 = -5 \),
\( x^2 + 4x + 8 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 — 32 = -16 \) — корней нет.

Второе значение:
\( x^2 + 4x + 3 = 3 \),
\( x^2 + 4x = 0 \);

\( x(x + 4) = 0 \),
\( x_1 = 0 \),
\( x_2 = -4 \).

Ответ: \( -4; 0 \).

3) Уравнение:
\( \frac{x^4}{(x + 4)^2} + \frac{23x^2}{(x + 4)} — 50 = 0 \).

Пусть \( y = \frac{x^2}{(x + 4)} \), тогда:
\( y^2 + 23y — 50 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (23)^2 + 4 \cdot 50 = 529 + 200 = 729 \).

Корни:
\( y_1 = \frac{-23 — 27}{2} = -25 \),
\( y_2 = \frac{-23 + 27}{2} = 2 \).

Первое значение:
\( \frac{x^2}{(x + 4)} = -25 \),
\( x^2 + 25x + 100 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (25)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 — 400 = 225 \).

Корни:
\( x_1 = \frac{-25 — 15}{2} = -20 \),
\( x_2 = \frac{-25 + 15}{2} = -5 \).

Второе значение:
\( \frac{x^2}{x + 4} = 2 \),
\( x^2 — 2x — 8 = 0 \);

Дискриминант:
\( D = (2)^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \),

Корни:
\( x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \),
\( x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \).

Ответ: \( -20; -5; -2; 4 \).

4) Уравнение:
\( \frac{x + 3}{x — 2} — \frac{x — 2}{x + 3} = \frac{3}{2} \).

Пусть \( y = \frac{x + 3}{x — 2} \), тогда:
\( y — \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \).

Приведём к квадратному уравнению:
\( 2y^2 — 3y — 2 = 0 \).

Дискриминант:
\( D = (3)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 \).

Корни:
\( y_1 = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{1}{2} \),
\( y_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \).

Первое значение:
\( \frac{x + 3}{x — 2} = -\frac{1}{2} \),
\( x + 3 = -\frac{1}{2}(x — 2) \).

Решим уравнение:
\( 2(x + 3) = -(x — 2) \),
\( 2x + 6 = -x + 2 \),
\( 3x = -4 \),
\( x = -\frac{4}{3} \).

Второе значение:
\( \frac{x + 3}{x — 2} = 2 \),
\( x + 3 = 2(x — 2) \).

Решим уравнение:
\( x + 3 = 2x — 4 \),
\( x = 7 \).

Ответ: \( x = -\frac{4}{3}; \; x = 7 \).

1)
\(
(x^2+6x)^2+(x^2+6x)-56=0
\)

Решение:
Пусть \(y = x^2 + 6x\), тогда уравнение примет вид:
\(
y^2 + y — 56 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (1)^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225
\)

Тогда корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{-1 — 15}{2} = -8, \quad y_2 = \frac{-1 + 15}{2} = 7
\)

Для первого значения \(y = -8\):
\(
x^2 + 6x = -8, \quad x^2 + 6x + 8 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4
\)

Тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-6 — 2}{2} = -4
\)

Для второго значения \(y = 7\):
\(
x^2 + 6x = 7, \quad x^2 + 6x — 7 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (6)^2 — 4 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64
\)

Тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6 — 8}{2} = -7
\)

Ответ: \(-7; -4; -2; 1\)

2)
Пусть \(y = x^2 + 4x + 3\), тогда: \(y(y+2) = 15\), \(y^2 + 2y — 15 = 0\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (2)^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64
\)

Тогда корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5, \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3
\)

Для первого значения \(y = -5\):
\(
x^2 + 4x + 3 = -5, \quad x^2 + 4x + 8 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (4)^2 — 4 \cdot 8 = 16 — 32 = -16
\)

Корней нет, так как дискриминант отрицательный.

Для второго значения \(y = 3\):
\(
x^2 + 4x + 3 = 3, \quad x^2 + 4x = 0
\)

Решим уравнение:
\(
x(x + 4) = 0, \quad x_1 = 0, \quad x_2 = -4
\)

Ответ: \(-4; 0\)

3)
Уравнение:
\(
\frac{x^4}{(x + 4)^2} + \frac{23x^2}{(x + 4)} — 50 = 0
\)

Пусть \(y = \frac{x^2}{(x + 4)}\), тогда:
\(
y^2 + 23y — 50 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (23)^2 + 4 \cdot 50 = 529 + 200 = 729
\)

Тогда корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{-23 — 27}{2} = -25, \quad y_2 = \frac{-23 + 27}{2} = 2
\)

Для первого значения \(y = -25\):
\(
\frac{x^2}{(x + 4)} = -25, \quad x^2 + 25x + 100 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (25)^2 — 4 \cdot 100 = 625 — 400 = 225
\)

Тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-25 — 15}{2} = -20, \quad x_2 = \frac{-25 + 15}{2} = -5
\)

Для второго значения \(y = 2\):
\(
\frac{x^2}{x + 4} = 2, \quad x^2 — 2x — 8 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (2)^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36
\)

Тогда корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4
\)

Ответ: \(-20; -5; -2; 4\)

4)
Уравнение:
\(
\frac{x + 3}{x — 2} — \frac{x — 2}{x + 3} = \frac{3}{2}
\)

Пусть \(y = \frac{x + 3}{x — 2}\), тогда:
\(
y — \frac{1}{y} = \frac{3}{2}
\)

Приведем к квадратному уравнению:
\(
2y^2 — 3y — 2 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (3)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25
\)

Тогда корни уравнения:
\(
y_1 = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2
\)

Для первого значения \(y = -\frac{1}{2}\):
\(
\frac{x + 3}{x — 2} = -\frac{1}{2}, \quad (x + 3) = -\frac{1}{2} (x — 2)
\)

Решим уравнение:
\(
2(x + 3) = -(x — 2), \quad 2x + 6 = -x + 2, \quad 3x = -4, \quad x = -\frac{4}{3}
\)

Для второго значения \(y = 2\):
\(
\frac{x + 3}{x — 2} = 2, \quad x + 3 = 2(x — 2)
\)

Решим уравнение:
\(
x + 3 = 2x — 4, \quad x = 7
\)

Ответ: \(x = -\frac{4}{3}; \, x = 7\)