ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 173 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Имеет два корня:
1) \( 2x^2 — px — 1 = 0; \, D = p^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 > 0; \, p^2 + 8 > 0, \, p \in \mathbb{R}; \)
Ответ: любое число.

2) \( x^2 + px + p — 3 = 0; \, D = p^2 — 4(p-3) > 0; \)
\( p^2 — 4p + 12 > 0; \, res (p^2 — 4p + 4) + 8 > 0; \)
\( (p — 2)^2 + 8 > 0, \, p \in \mathbb{R}; \)
Ответ: любое число.

Для доказательства того, что уравнения имеют два корня при любом значении \( p \), воспользуемся дискриминантом.

1) Уравнение \( 2x^2 — px — 1 = 0 \)

Дискриминант \( D \) данного уравнения вычисляется по формуле:

\(
D = b^2 — 4ac
\)

где \( a = 2 \), \( b = -p \), \( c = -1 \).

Подставим значения:

\(
D = (-p)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = p^2 + 8
\)

Поскольку \( p^2 \) всегда неотрицательно (квадрат любого числа не может быть отрицательным), то \( D = p^2 + 8 \) всегда больше или равно 8. Это значит, что дискриминант положителен для любого значения \( p \), следовательно, уравнение имеет два различных корня.

2) Уравнение \( x^2 + px + (p — 3) = 0 \)

В этом случае дискриминант также вычисляется по аналогичной формуле:

\(
D = b^2 — 4ac
\)

где \( a = 1 \), \( b = p \), \( c = p — 3 \).

Подставим значения:

\(
D = p^2 — 4 \cdot 1 \cdot (p — 3) = p^2 — 4p + 12
\)

Теперь упростим дискриминант:

\(
D = p^2 — 4p + 12
\)

Чтобы показать, что этот дискриминант всегда положителен, найдем его минимальное значение. Для квадратного трёхчлена \( p^2 — 4p + 12 \) можно использовать формулу для нахождения координаты вершины параболы:

\(
p_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2
\)

Теперь подставим это значение в дискриминант:

\(
D(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 12 = 4 — 8 + 12 = 8
\)

Так как дискриминант в точке минимума равен 8 (положительное число), это означает, что \( D(p) \) всегда больше или равно 8 для любого значения \( p \). Следовательно, уравнение также имеет два различных корня.

Таким образом, оба уравнения имеют два корня при любом значении \( p \).