ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 181 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения
\(
x^2 — 8x + 5 = 0
\).
Не решая уравнение, найдите значения выражений:

1) \(
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}
\)

2) \(
x_1^2 + x_2^2
\)

3) \(
(x_1 — x_2)^2
\)

4) \(
x_1^3 + x_2^3
\)

Дано уравнение:
\(x^2 — 8x + 5 = 0\);

Корни этого уравнения:
\(x_1 + x_2 = 8\), \(x_1 \cdot x_2 = 5\);

1) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(x_1 + x_2)}{(x_1 \cdot x_2)} = \frac{8}{5} = 1.6\);

2) \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2 \cdot (x_1 \cdot x_2) = 64 — 10 = 54\);

3) \((x_1 — x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 — 4 \cdot (x_1 \cdot x_2) = 8^2 — 4 \cdot 5 = 44\);

4) \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2) \cdot ((x_1 + x_2)^2 — 3 \cdot (x_1 \cdot x_2)) = 8 \cdot (64 — 15) = 392\).

дано уравнение:
\(x^2 — 8x + 5 = 0\)

по теореме виета:
\(x_1 + x_2 = 8\), \(x_1 \cdot x_2 = 5\)

требуется найти:

1) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)
распишем:
\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}\)
подставим значения:
\(\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{8}{5}\)
ответ:
\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{8}{5} = 1.6\)

2) \(x_1^2 + x_2^2\)
распишем:
\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2 \cdot (x_1 \cdot x_2)\)
подставим значения:
\((x_1 + x_2)^2 = 8^2 = 64\), \(2 \cdot (x_1 \cdot x_2) = 2 \cdot 5 = 10\)
тогда:
\(x_1^2 + x_2^2 = 64 — 10 = 54\)
ответ:
\(x_1^2 + x_2^2 = 54\)

3) \((x_1 — x_2)^2\)
распишем:
\((x_1 — x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 — 4 \cdot (x_1 \cdot x_2)\)
подставим значения:
\((x_1 + x_2)^2 = 8^2 = 64\), \(4 \cdot (x_1 \cdot x_2) = 4 \cdot 5 = 20\)
тогда:
\((x_1 — x_2)^2 = 64 — 20 = 44\)
ответ:
\((x_1 — x_2)^2 = 44\)

4) \(x_1^3 + x_2^3\)
распишем:
\(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2) \cdot ((x_1 + x_2)^2 — 3 \cdot (x_1 \cdot x_2))\)
подставим значения:
\((x_1 + x_2)^2 = 8^2 = 64\), \(3 \cdot (x_1 \cdot x_2) = 3 \cdot 5 = 15\)
тогда:
\(x_1^3 + x_2^3 = 8 \cdot (64 — 15)\)
выполним вычисления:
\(64 — 15 = 49\), \(8 \cdot 49 = 392\)
ответ:
\(x_1^3 + x_2^3 = 392\)