ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 183 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составьте квадратное уравнение, корни которого в \(3\) раза меньше соответствующих корней уравнения
\(
2x^2 — 8x + 3 = 0
\).

\(2x^2 — 8x + 3 = 0\);

1) Корни этого уравнения:
\(
x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1.5;
\)

2) Для искомого уравнения:
\(
y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{4}{3},
\)
\(
y_1 \cdot y_2 = \frac{x_1 \cdot x_2}{9} = \frac{1.5}{9} = \frac{1}{6}.
\)

Ответ:
\(
6y^2 — 8y + 1 = 0.
\)

Сначала найдем корни уравнения \(2x^2 — 8x + 3 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\(
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}
\)

где \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 3\).

1. Вычислим дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 64 — 24 = 40
\)

2. Найдем корни:
\(
x_1 = \frac{8 + \sqrt{40}}{4} = \frac{8 + 2\sqrt{10}}{4} = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}
\)
\(
x_2 = \frac{8 — \sqrt{40}}{4} = \frac{8 — 2\sqrt{10}}{4} = 2 — \frac{\sqrt{10}}{2}
\)

Теперь у нас есть корни \(x_1\) и \(x_2\). Чтобы составить квадратное уравнение с корнями, которые в 3 раза меньше, найдем новые корни:

\(
y_1 = \frac{x_1}{3} = \frac{2 + \frac{\sqrt{10}}{2}}{3} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{10}}{6}
\)
\(
y_2 = \frac{x_2}{3} = \frac{2 — \frac{\sqrt{10}}{2}}{3} = \frac{2}{3} — \frac{\sqrt{10}}{6}
\)

Теперь составим квадратное уравнение с корнями \(y_1\) и \(y_2\). Уравнение можно записать в виде:

\(
z^2 — (y_1 + y_2)z + y_1y_2 = 0
\)

Сначала найдем сумму и произведение корней:

1. Сумма:
\(
y_1 + y_2 = \left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{10}}{6}\right) + \left(\frac{2}{3} — \frac{\sqrt{10}}{6}\right) = \frac{4}{3}
\)

2. Произведение:
\(
y_1y_2 = \left(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{10}}{6}\right)\left(\frac{2}{3} — \frac{\sqrt{10}}{6}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 — \left(\frac{\sqrt{10}}{6}\right)^2 =
\)
\(
= \frac{4}{9} — \frac{10}{36} = \frac{4}{9} — \frac{5}{18} = \frac{8}{18} — \frac{5}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}
\)

Теперь подставим сумму и произведение в уравнение:

\(
z^2 — \frac{4}{3}z + \frac{1}{6} = 0
\)

Умножим все на 6, чтобы избавиться от дробей:

\(
6z^2 — 8z + 1 = 0
\)

Итак, квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения \(2x^2 — 8x + 3 = 0\), будет:

\(
6z^2 — 8z + 1 = 0
\)