ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 187 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить уравнение:
1) \((x-y)^2+(x-9)^2=0\); \(x-y=0\), \(x=y\); \(x-9=0\), \(x=9\); Ответ: \((9; 9)\).
2) \((x-3y+1)^2+x^2-8xy+16y^2=0\); \((x-3y+1)^2+(x-4y)^2=0\); \(x-4y=0\), \(x = 4y\); \(x-3y+1= 0\); \(4y-3y + 1 = 0\);
\(y = -1\), \(x = -4\);
Ответ: \((-4; -1)\).
3) \(|x+3y-4|+(2x-6y+3)^2=0\); \(x+3y-4=0\), \(x= 4-3y\); \(2(4-3y)-6y+3= 0\); \(8-6y-6y +3 = 0\); \(12y = 11\), \(y = \frac{11}{12}\);
Ответ: \((4; \frac{11}{12})\).
4) \(x^2+y^2-4x+6y+13=0\); \(x^2-4x+4+y^2+6y+9=0\); \((x-2)^2+(y+3)^2=0\);
Ответ: \((2; -3)\).

1) \((x-y)^2 + (x-9)^2 = 0\)

Для суммы квадратов равной нулю, каждый из квадратов должен быть равен нулю:
\[
(x-y)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (x-9)^2 = 0
\]
Это означает:
\[
x — y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = y
\]
\[
x — 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9
\]
Таким образом, \(y = 9\). Решение: \((x, y) = (9, 9)\).

2) \((x — 3y + 1)^2 + x^2 — 8xy + 16y^2 = 0\)

Сумма квадратов также равна нулю, значит, каждый из членов равен нулю. Из первого члена:
\[
(x — 3y + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x — 3y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3y — 1
\]
Теперь подставим это значение в оставшуюся часть уравнения:
\[
(3y — 1)^2 — 8(3y — 1)y + 16y^2 = 0
\]
Раскроем скобки:
\[
9y^2 — 6y + 1 — (24y^2 — 8y) + 16y^2 = 0
\]
Соберем все члены:
\[
9y^2 — 24y^2 + 16y^2 + 2y + 1 = 0
\]
Это упрощается до:
\[
y^2 + 2y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (y + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -1
\]
Теперь подставим \(y\) обратно, чтобы найти \(x\):
\[
x = 3(-1) — 1 = -4
\]
Решение: \((x, y) = (-4, -1)\).

3) \(|x + 3y — 4| + (2x — 6y + 3)^2 = 0\)

Поскольку сумма неотрицательных выражений равна нулю, оба выражения должны быть равны нулю:
\[
|x + 3y — 4| = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3y — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3y = 4
\]
\[
(2x — 6y + 3)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x — 6y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x — 3y = -\frac{3}{2}
\]
Теперь у нас есть система уравнений:
1) \(x + 3y = 4\)
2) \(x — 3y = -\frac{3}{2}\)

Решим эту систему. Сложим оба уравнения:
\[
(x + 3y) + (x — 3y) = 4 — \frac{3}{2}
\]
Это дает:
\[
2x = \frac{8}{2} — \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{4}
\]
Теперь подставим \(x\) в первое уравнение:
\[
\frac{5}{4} + 3y = 4 \quad \Rightarrow \quad 3y = 4 — \frac{5}{4} = \frac{16}{4} — \frac{5}{4} = \frac{11}{4} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{11}{12}
\]
Решение: \((x, y) = \left(\frac{5}{4}, \frac{11}{12}\right)\).

4) \(x^2 + y^2 — 4x + 6y + 13 = 0\)

Сначала преобразуем уравнение. Перепишем его в стандартной форме окружности:
\[
(x^2 — 4x) + (y^2 + 6y) + 13 = 0
\]
Завершим квадрат для \(x\) и \(y\):
\[
(x^2 — 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + (13 — 4 — 9) = 0
\]
Это дает:
\[
(x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 0
\]
Так как сумма квадратов равна нулю, мы имеем:
\[
(x — 2)^2 = 0 \quad и \quad (y + 3)^2 = 0
\]
Следовательно:
\[
x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
\[
y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -3
\]
Решение: \((x, y) = (2, -3)\).

Итак, все решения уравнений:
1) (9, 9)
2) (-4, -1)
3) \(\left(\frac{5}{4}, \frac{11}{12}\right)\)
4) (2, -3)