ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 187 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Решите уравнения:}
\)
\(
\begin{aligned}
1) \quad & (x — y)^2 + (x — 9)^2 = 0; \\
2) \quad & (x — 3y + 1)^2 + x^2 — 8xy + 16y^2 = 0; \\
3) \quad & |x + 3y — 4| + (2x — 6y + 3)^2 = 0; \\
4) \quad & x^2 + y^2 — 4x + 6y + 13 = 0. \\
\end{aligned}
\)

Решить уравнение:

1) \((x-y)^2 + (x-9)^2 = 0;\)
\(x — y = 0,\) \(x = y;\)
\(x — 9 = 0,\) \(x = 9;\)
Ответ: \((9; 9)\).

2) \((x-3y + 1)^2 + x^2 — 8xy + 16y^2 = 0;\)
\((x-3y+1)^2 +(x-4y)^2=0;\)
\(x — 4y = 0,\) \(x = 4y;\)
\(x — 3y + 1 = 0;\)
\(4y — 3y + 1 = 0;\)
\(y = -1,\) \(x = -4;\)
Ответ: \((-4; -1)\).

3) \(|x+3y — 4| + (2x — 6y + 3)^2 = 0;\)
\(x + 3y-4 = 0,\) \(x=4-3y;\)
\(2(4-3y) — 6y + 3 = 0;\)
\(8-6y-6y +3 = 0;\)
\(12y = 11,\) \(y = \frac{11}{12};\)
\(x = 4 — \frac{11}{4} = \frac{5}{4};\)
Ответ: \(\left(\frac{5}{4}; \frac{11}{12}\right)\).

4) \(x^2+y^2-4x+6y+13=0;\)
\(x^2-4x+4+y^2+6y+9=0;\)
\((x-2)^2+ (y+3)^2 = 0;\)
\(x = 2, y = -3;\)
Ответ: \((2; -3)\).

1) \((x-y)^2 + (x-9)^2 = 0\)

Для суммы квадратов равной нулю, каждый из квадратов должен быть равен нулю:
\((x-y)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (x-9)^2 = 0\)
Это означает:
\(x — y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = y\)
\(x — 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 9\)
Таким образом, \(y = 9\). Решение: \((x, y) = (9, 9)\).

2) \((x — 3y + 1)^2 + x^2 — 8xy + 16y^2 = 0\)

Сумма квадратов также равна нулю, значит, каждый из членов равен нулю. Из первого члена:
\((x — 3y + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x — 3y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3y — 1\)
Теперь подставим это значение в оставшуюся часть уравнения:
\((3y — 1)^2 — 8(3y — 1)y + 16y^2 = 0\)
Раскроем скобки:
\(9y^2 — 6y + 1 — (24y^2 — 8y) + 16y^2 = 0\)
Соберем все члены:
\(9y^2 — 24y^2 + 16y^2 + 2y + 1 = 0\)
Это упрощается до:
\(y^2 + 2y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (y + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -1\)
Теперь подставим \(y\) обратно, чтобы найти \(x\):
\(x = 3(-1) — 1 = -4\)
Решение: \((x, y) = (-4, -1)\).

3) \(|x + 3y — 4| + (2x — 6y + 3)^2 = 0\)

Поскольку сумма неотрицательных выражений равна нулю, оба выражения должны быть равны нулю:
\(|x + 3y — 4| = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3y — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 3y = 4\)
\((2x — 6y + 3)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x — 6y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x — 3y = -\frac{3}{2}\)
Теперь у нас есть система уравнений:
1) \(x + 3y = 4\)
2) \(x — 3y = -\frac{3}{2}\)

Решим эту систему. Сложим оба уравнения:
\((x + 3y) + (x — 3y) = 4 — \frac{3}{2}\)
Это дает:
\(2x = \frac{8}{2} — \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{4}\)
Теперь подставим \(x\) в первое уравнение:
\(\frac{5}{4} + 3y = 4 \quad \Rightarrow \quad 3y = 4 — \frac{5}{4} = \frac{16}{4} — \frac{5}{4} = \frac{11}{4} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{11}{12}\)
Решение: \((x, y) = \left(\frac{5}{4}, \frac{11}{12}\right)\).

4) \(x^2 + y^2 — 4x + 6y + 13 = 0\)

Сначала преобразуем уравнение. Перепишем его в стандартной форме окружности:
\((x^2 — 4x) + (y^2 + 6y) + 13 = 0\)
Завершим квадрат для \(x\) и \(y\):
\((x^2 — 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + (13 — 4 — 9) = 0\)
Это дает:
\((x — 2)^2 + (y + 3)^2 = 0\)
Так как сумма квадратов равна нулю, мы имеем:
\((x — 2)^2 = 0 \quad и \quad (y + 3)^2 = 0\)
Следовательно:
\(x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\)
\(y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -3\)
Решение: \((x, y) = (2, -3)\).