ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 188 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Решите системы уравнений:}
\)

\(
\begin{aligned}
1) \quad &
\begin{cases}
x + y = 1 \\
x y = -20
\end{cases}
\\[2em]
2) \quad &
\begin{cases}
x + 3y = 1 \\
x^2 + 2x y — y^2 = -1
\end{cases}
\\[2em]
3) \quad &
\begin{cases}
x^2 + x y — 5y = -3 \\
4x — y = 3
\end{cases}
\\[2em]
4) \quad &
\begin{cases}
2x — 3y = -5 \\
4x^2 + 6y = 13
\end{cases}
\end{aligned}
\)

Решить систему уравнений:

1)
\(
\begin{cases}
x + y = 1 \\
xy = -20
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(x + y = 1,\) \(y = 1 — x;\)

Второе уравнение:
\(x(1 — x) = -20,\) \(x^2 — x — 20 = 0;\)

\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1 + 80 = 81,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4,\quad x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5;
\)
\(
y_1 = 1 + 4 = 5,\quad y_2 = 1 — 5 = -4;
\)
Ответ: (-4; 5); (5; -4).

2)
\(
\begin{cases}
x + 3y = 1 \\
x^2 + 2xy — y^2 = -1
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(x + 3y = 1,\) \(x = 1 — 3y;\)

Второе уравнение:
\((1 — 3y)^2 + 2y(1 — 3y) — y^2 = -1;\)
\(1 — 6y + 9y^2 + 2y — 6y^2 — y^2 = -1;\)
\(2y^2 — 4y + 2 = 0,\) \(y^2 — 2y + 1 = 0;\)

\((y — 1)^2 = 0,\) \(y — 1 = 0,\) \(y = 1;\)

\(x = 1 — 3 = -2;\)

Ответ: (-2; 1).

3)
\(
\begin{cases}
x^2 + x y — 5y = -3 \\
4x — y = 3
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(4x — y = 3,\) значит \(y = 4x — 3;\)

Первое уравнение:
\(
x^2 + x(4x — 3) — 5(4x — 3) = -3;
\)
\(
x^2 + 4x^2 — 3x — 20x + 15 = -3;
\)
\(
5x^2 — 23x + 18 = 0;
\)
\(
D = 23^2 — 4 \cdot 5 \cdot 18 = 529 — 360 = 169,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{23 — 13}{2 \cdot 5} = 1, \quad x_2 = \frac{23 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3{,}6;
\)
\(
y_1 = 4 — 3 = 1, \quad y_2 = 14{,}4 — 3 = 11{,}4;
\)
Ответ: (1; 1); (3,6; 11,4).

4)
\(
\begin{cases}
2x — 3y = -5 \\
4x^2 + 6y = 13
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(2x — 3y = -5,\) значит \(3y = 2x + 5;\)

\(4x — 6y = -10,\) значит \(y = \frac{2x + 5}{3};\)

Сумма уравнений:
\(
4x^2 + 4x = 3, \quad 4x^2 + 4x — 3 = 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2};
\)
\(
y_1 = \frac{1 + 5}{3} = 2, \quad y_2 = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{2}) + 5}{3} = \frac{-3 + 5}{3} = \frac{2}{3};
\)
Ответ: (-\(\frac{3}{2}\); \(\frac{2}{3}\)); (\(\frac{1}{2}\); 2).

1)

\(
\begin{cases}
x + y = 1 \\
xy = -20
\end{cases}
\)

Шаг 1. Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:

\(
x + y = 1 — y = 1 — x
\)

Шаг 2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\(
x y = -20 — x (1 — x) = -20
\)
\(
x — x^2 = -20
\)
\(
x^2 — x — 20 = 0
\)

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

\(
x^2 — x — 20 = 0
\)
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
\)
\(
x_1 = \frac{1 — 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4
\)
\(
x_2 = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5
\)

Шаг 4. Найдём значения \(y\):

\(
y_1 = 1 — x_1 = 1 — (-4) = 5
\)
\(
y_2 = 1 — x_2 = 1 — 5 = -4
\)

Ответ:
\(
(-4;\ 5),\ (5;\ -4)
\)

2)

\(
\begin{cases}
x + 3y = 1 \\
x^2 + 2xy — y^2 = -1
\end{cases}
\)

Шаг 1. Выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения:

\(
x + 3y = 1 — x = 1 — 3y
\)

Шаг 2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\(
x^2 + 2xy — y^2 = -1
\)
\(
(1 — 3y)^2 + 2y(1 — 3y) — y^2 = -1
\)

Распишем скобки:

\(
1 — 6y + 9y^2 + 2y — 6y^2 — y^2 = -1
\)

Приведём подобные:

\(
(9y^2 — 6y^2 — y^2) + (-6y + 2y) + 1 = -1
\)
\(
2y^2 — 4y + 1 = -1
\)
\(
2y^2 — 4y + 2 = 0
\)
\(
y^2 — 2y + 1 = 0
\)

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

\(
y^2 — 2y + 1 = 0
\)
\(
(y — 1)^2 = 0
\)
\(
y = 1
\)

Шаг 4. Найдём значение \(x\):

\(
x = 1 — 3y = 1 — 3 \cdot 1 = -2
\)

Ответ:
\(
(-2;\ 1)
\)

3)

\(
\begin{cases}
x^2 + x y — 5y = -3 \\
4x — y = 3
\end{cases}
\)

Шаг 1. Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения:

\(
4x — y = 3 — y = 4x — 3
\)

Шаг 2. Подставим это выражение в первое уравнение:

\(
x^2 + x y — 5y = -3
\)
\(
x^2 + x(4x — 3) — 5(4x — 3) = -3
\)
\(
x^2 + 4x^2 — 3x — 20x + 15 = -3
\)
\(
x^2 + 4x^2 = 5x^2
\)
\(
-3x — 20x = -23x
\)
\(
5x^2 — 23x + 15 = -3
\)
\(
5x^2 — 23x + 18 = 0
\)

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

\(
D = (-23)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 18 = 529 — 360 = 169
\)
\(
x_1 = \frac{23 — 13}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1
\)
\(
x_2 = \frac{23 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3,6
\)

Шаг 4. Найдём значения \(y\):

\(
y_1 = 4x_1 — 3 = 4 \cdot 1 — 3 = 1
\)
\(
y_2 = 4x_2 — 3 = 4 \cdot 3,6 — 3 = 14,4 — 3 = 11,4
\)

Ответ:
\(
(1;\ 1),\ (3,6;\ 11,4)
\)

4)

\(
\begin{cases}
2x — 3y = -5 \\
4x^2 + 6y = 13
\end{cases}
\)

Шаг 1. Выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:

\(
2x — 3y = -5 — 2x + 5 = 3y — y = \frac{2x + 5}{3}
\)

Шаг 2. Подставим это выражение во второе уравнение:

\(
4x^2 + 6y = 13
\)
\(
4x^2 + 6 \left(\frac{2x + 5}{3}\right) = 13
\)
\(
4x^2 + 2(2x + 5) = 13
\)
\(
4x^2 + 4x + 10 = 13
\)
\(
4x^2 + 4x = 3
\)
\(
4x^2 + 4x — 3 = 0
\)

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64
\)
\(
x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}
\)
\(
x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\)

Шаг 4. Найдём значения \(y\):

\(
y_1 = \frac{2x_1 + 5}{3} = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{2}) + 5}{3} = \frac{-3 + 5}{3} = \frac{2}{3}
\)
\(
y_2 = \frac{2x_2 + 5}{3} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 5}{3} = \frac{1 + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2
\)

Ответ:
\(
(-\frac{3}{2};\ \frac{2}{3}),\ (\frac{1}{2};\ 2)
\)