ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 189 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения графиков следующих пар уравнений (без построения):

1.
\(
\begin{cases}
y = 2 — 5x \\
y = x^2 + x — 5
\end{cases}
\)

2.
\(
\begin{cases}
x — y + 5 = 0 \\
(x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 13
\end{cases}
\)

3.
\(
\begin{cases}
y = 3x — 10 \\
x^2 + y^2 = 10
\end{cases}
\)

4.
\(
\begin{cases}
y = 4x^2 + 5x + 2 \\
y = -2x^2 — 3x — 2
\end{cases}
\)

Найти точки пересечения:

1)
\(
\begin{cases}
y = 2 — 5x \\
y = x^2 + x — 5
\end{cases}
\)

Второе уравнение:

\(2 — 5x = x^2 + x — 5\), \(x^2 + 6x — 7 = 0\);
\(D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64\), тогда:
\(
x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1
\)
\(
y_1 = 2 + 35 = 37 \quad \text{и} \quad y_2 = 2 — 5 = -3
\)
Ответ: \((-7;\ 37)\); \((1;\ -3)\).

2)
\(
\begin{cases}
x — y + 5 = 0 \\
(x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 13
\end{cases}
\)

Первое уравнение:

\(x — y + 5 = 0,\ y = x + 5\);

Второе уравнение: \((x + 3)^2 + (x + 4)^2 = 13\);
\(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 8x + 16 = 13\);
\(2x^2 + 14x + 12 = 0,\ x^2 + 7x + 6 = 0\);
\(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25\), тогда:
\(
x_1 = \frac{-7 — 5}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = -1
\)
\(
y_1 = -6 + 5 = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = -1 + 5 = 4
\)
Ответ: \((-6;\ -1)\); \((-1;\ 4)\).

3)
\(
\begin{cases}
y = 3x — 10 \\
x^2 + y^2 = 10
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(x^2 + (3x — 10)^2 = 10\);
\(x^2 + 9x^2 — 60x + 100 = 10\);
\(10x^2 — 60x + 90 = 0 \quad | : 10\);
\(x^2 — 6x + 9 = 0,\ (x — 3)^2 = 0\);
\(x = 3,\ y = 9 — 10 = -1;\)
Ответ: \((3; -1)\).

4)
\(
\begin{cases}
y = 4x^2 + 5x + 2 \\
y = -2x^2 — 3x — 2
\end{cases}
\)

Разность уравнений:
\(6x^2 + 8x + 4 = 0,\ 3x^2 + 4x + 2 = 0;\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 — 24 = -8;\)
Ответ: нет таких точек.

1)
\(
\begin{cases}
y = 2 — 5x \\
y = x^2 + x — 5
\end{cases}
\)

Подставим первое уравнение во второе:

\(
2 — 5x = x^2 + x — 5
\)

Перенесём всё в одну сторону:

\(
2 — 5x — x^2 — x + 5 = 0
\)
\(
-x^2 — 6x + 7 = 0
\)
\(
x^2 + 6x — 7 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64
\)

\(
x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2}
\)
\(
x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7
\)
\(
x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1
\)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \):

\(
y_1 = 2 — 5 \cdot (-7) = 2 + 35 = 37
\)
\(
y_2 = 2 — 5 \cdot 1 = 2 — 5 = -3
\)

Ответ:
\(
(-7;\ 37),\ (1;\ -3)
\)

2)
\(
\begin{cases}
x — y + 5 = 0 \\
(x + 3)^2 + (y — 1)^2 = 13
\end{cases}
\)

Из первого уравнения выразим \( y \):

\(
x — y + 5 = 0 — y = x + 5
\)

Подставим во второе уравнение:

\(
(x + 3)^2 + (x + 5 — 1)^2 = 13
\)
\(
(x + 3)^2 + (x + 4)^2 = 13
\)

Раскроем скобки:

\(
(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
\)
\(
(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16
\)

Сложим:

\(
x^2 + 6x + 9 + x^2 + 8x + 16 = 13
\)
\(
2x^2 + 14x + 25 = 13
\)
\(
2x^2 + 14x + 12 = 0
\)
\(
x^2 + 7x + 6 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25
\)

\(
x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 \pm 5}{2}
\)
\(
x_1 = \frac{-7 — 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6
\)
\(
x_2 = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \):

\(
y_1 = -6 + 5 = -1
\)
\(
y_2 = -1 + 5 = 4
\)

Ответ:
\(
(-6;\ -1),\ (-1;\ 4)
\)

3)
\(
\begin{cases}
y = 3x — 10 \\
x^2 + y^2 = 10
\end{cases}
\)

Подставим первое уравнение во второе:

\(
x^2 + (3x — 10)^2 = 10
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 + (3x — 10)^2 = x^2 + 9x^2 — 60x + 100 = 10
\)
\(
10x^2 — 60x + 100 = 10
\)
\(
10x^2 — 60x + 90 = 0
\)
\(
x^2 — 6x + 9 = 0
\)

Это квадрат полного вида:

\(
(x — 3)^2 = 0
\)
\(
x = 3
\)

Теперь найдём соответствующее значение \( y \):

\(
y = 3 \cdot 3 — 10 = 9 — 10 = -1
\)

Ответ:
\(
(3;\ -1)
\)

4)
\(
\begin{cases}
y = 4x^2 + 5x + 2 \\
y = -2x^2 — 3x — 2
\end{cases}
\)

Приравняем правые части:

\(
4x^2 + 5x + 2 = -2x^2 — 3x — 2
\)
\(
4x^2 + 5x + 2 + 2x^2 + 3x + 2 = 0
\)
\(
6x^2 + 8x + 4 = 0
\)

Разделим на 2:

\(
3x^2 + 4x + 2 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 — 24 = -8
\)

Дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Ответ:
нет таких точек