ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 192 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

\(
\begin{cases}
y — x = 0 \\
2x + y = -6
\end{cases}
\quad;
\quad
\begin{cases}
x + y = -1 \\
2x + 2y = -3
\end{cases}
\quad;
\quad
\begin{cases}
x^2 — y = 6 \\
x + y = 6
\end{cases}
\)

\(
\begin{cases}
(x + 2)^2 + y^2 = 10 \\
x — y + 4 = 0
\end{cases}
\quad;
\quad
\begin{cases}
xy = 8 \\
x + y = -6
\end{cases}
\quad;
\quad
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 13 \\
xy = 6
\end{cases}
\)

1)
\(
\begin{cases}
y — x = 0 \\
2x + y = -6
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
y — x = 0 \ — y = x
\)

Второе уравнение:
\(
2x + y = -6 — y = -2x — 6
\)

Графики функций:

Ответ:
\(
(-2; -2)
\)

\(
\begin{cases}
x + y = -1 \\
2x + 2y = -3
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
x + y = -1 \ — y = -x — 1
\)

Второе уравнение:
\(
2x + 2y = -3 \ — y = -x — 1.5
\)

Графики функций:

Ответ:
\(
\text{решений нет.}
\)

\(
\begin{cases}
x^2 — y = 6 \\
x + y = 6
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — y = 6 \ —  y = x^2 — 6
\)

Второе уравнение:
\(
x + y = 6 \ — y = 6 — x
\)

Графики функций:

Ответ:
\(
(-4; 10); \, (3; 3)
\)

\(
\begin{cases}
(x + 2)^2 + y^2 = 10 \\
x — y + 4 = 0
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
x_0 = -2, \, y_0 = 0, \, R = \sqrt{10}
\)

Второе уравнение:
\(
x — y + 4 = 0 \ — y = x + 4
\)

Графики функций:

Ответ:
\(
(-5; -1); \, (-1; 3)
\)

\(
\begin{cases}
xy = 8 \\
x + y = -6
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
xy = 8 \ — y = \frac{8}{x}
\)

Второе уравнение:
\(
x + y = -6 \ — y = -x — 6
\)

Графики функций:

Ответ:
\(
(-4; -2); \, (-2; -4)
\)

1)

\(
\begin{cases}
y — x = 0 \\
2x + y = -6
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
y — x = 0 — y = x
\)

Второе уравнение:
\(
2x + y = -6 — y = -2x — 6
\)

Для нахождения точки пересечения подставим \(y = x\) из первого уравнения во второе:
\(
2x + x = -6 — 3x = -6 — x = -2
\)

Теперь найдём \(y\):
\(
y = x = -2
\)

Ответ:
\(
(-2; -2)
\)

2)

\(
\begin{cases}
x + y = -1 \\
2x + 2y = -3
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
x + y = -1 — y = -x — 1
\)

Второе уравнение:
\(
2x + 2y = -3 — y = -x — 1.5
\)

Заметим, что \(y = -x — 1\) и \(y = -x — 1.5\) — это параллельные прямые, которые не пересекаются. Таким образом, система уравнений не имеет решений.

Ответ:
\(
\text{решений нет.}
\)

3)

\(
\begin{cases}
x^2 — y = 6 \\
x + y = 6
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
x^2 — y = 6 — y = x^2 — 6
\)

Второе уравнение:
\(
x + y = 6 — y = 6 — x
\)

Для нахождения точек пересечения подставим \(y = 6 — x\) из второго уравнения в первое:
\(
x^2 — (6 — x) = 6 — x^2 — 6 + x = 6 — x^2 + x — 12 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 + x — 12 = 0 — (x + 4)(x — 3) = 0
\)

Получаем два значения \(x\):
\(
x_1 = -4, \quad x_2 = 3
\)

Найдём соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = -4: \quad y = 6 — (-4) = 10\)
Для \(x_2 = 3: \quad y = 6 — 3 = 3\)

Ответ:
\(
(-4; 10), \quad (3; 3)
\)

4)

\(
\begin{cases}
(x + 2)^2 + y^2 = 10 \\
x — y + 4 = 0
\end{cases}
\)

Первое уравнение представляет собой окружность с центром в точке \((-2; 0)\) и радиусом \(R = \sqrt{10}\).

Второе уравнение:
\(
x — y + 4 = 0 — y = x + 4
\)

Подставим \(y = x + 4\) в уравнение окружности:
\(
(x + 2)^2 + (x + 4)^2 = 10
\)

Раскроем скобки:
\(
(x + 2)^2 + (x + 4)^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 8x + 16) = 10
\)

\(
2x^2 + 12x + 20 = 10 — 2x^2 + 12x + 10 = 0 — x^2 + 6x + 5 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 + 6x + 5 = 0 — (x + 5)(x + 1) = 0
\)

Получаем два значения \(x\):
\(
x_1 = -5, \quad x_2 = -1
\)

Найдём соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = -5: \quad y = -5 + 4 = -1\)
Для \(x_2 = -1: \quad y = -1 + 4 = 3\)

Ответ:
\(
(-5; -1), \quad (-1; 3)
\)

5)

\(
\begin{cases}
xy = 8 \\
x + y = -6
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
xy = 8 — y = \frac{8}{x}
\)

Второе уравнение:
\(
x + y = -6 — y = -x — 6
\)

Подставим \(y = \frac{8}{x}\) из первого уравнения во второе:
\(
x + \frac{8}{x} = -6
\)

Умножим на \(x\), чтобы избавиться от дроби:
\(
x^2 + 8 = -6x — x^2 + 6x + 8 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
x^2 + 6x + 8 = 0 — (x + 4)(x + 2) = 0
\)

Получаем два значения \(x\):
\(
x_1 = -4, \quad x_2 = -2
\)

Найдём соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = -4: \quad y = \frac{8}{-4} = -2\)
Для \(x_2 = -2: \quad y = \frac{8}{-2} = -4\)

Ответ:
\(
(-4; -2), \quad (-2; -4)
\)