ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 194 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) система уравнений

\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 16 \\
x — y = a
\end{cases}
\)

имеет

1) единственное решение;

2) два решения;

3) не имеет решений?

\(
x^2 + y^2 = 16, \quad x — y = a
\)

Второе уравнение:
\(
x — y = a — x = y + a
\)

Первое уравнение:
\(
(y + a)^2 + y^2 = 16
\)
\(
y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 16
\)
\(
2y^2 + 2ay + (a^2 — 16) = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 16)
\)
\(
D = 4a^2 — 8(a^2 — 16) = 4a^2 — 8a^2 + 128 = 128 — 4a^2
\)

1) Имеет одно решение:
\(
D = 0 — 128 — 4a^2 = 0 — 4a^2 = 128 — a^2 = 32 — a = \pm \sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2}
\)
Ответ:
\(
a = \pm 4\sqrt{2}
\)

2) Имеет два решения:
\(
D > 0 — 128 — 4a^2 > 0 — 4(a^2 — 32) < 0 — a^2 — 32 < 0 — a^2 <
\)
\(
< 32 — |a| < 4\sqrt{2}
\)
Ответ:
\(
a \in (-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})
\)

3) Не имеет решений:
\(
D < 0 — 128 — 4a^2 < 0 — 4(a^2 — 32) > 0 — a^2 — 32 > 0 — a^2 > 32 — |a| >
\)
\(
> 4\sqrt{2}
\)
Ответ:
\(
a \in (-\infty; -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}; +\infty)
\)

Рассмотрим систему уравнений:

1) \( x^2 + y^2 = 16 \) — это уравнение окружности радиуса 4 с центром в начале координат.
2) \( x — y = a \) — это уравнение прямой.

Чтобы понять, при каких значениях \( a \) система имеет разное количество решений, нужно выяснить, как прямая пересекает окружность.

Для этого выразим \( y \) из второго уравнения:
\( y = x — a. \)

Подставим это выражение в первое уравнение:
\( x^2 + (x — a)^2 = 16. \)
Раскроем скобки:
\( x^2 + (x^2 — 2ax + a^2) = 16, \)
\( 2x^2 — 2ax + a^2 — 16 = 0. \)

Это квадратное уравнение относительно \( x \):
\( 2x^2 — 2ax + (a^2 — 16) = 0. \)

Теперь найдем дискриминант этого уравнения:
\( D = (-2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 16) = 4a^2 — 8(a^2 — 16) = 4a^2 — 8a^2 + 128 =\)
\( = -4a^2 + 128. \)

Теперь определим количество решений в зависимости от дискриминанта \( D \):

1) Единственное решение: \( D = 0 \)
\(
-4a^2 + 128 = 0 — a^2 = 32 — a = \pm 4\sqrt{2}.
\)

2) Два решения: \( D > 0 \)
\(
-4a^2 + 128 > 0 — a^2 < 32 — -4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2}.
\)

3) Нет решений: \( D < 0 \)
\( -4a^2 + 128 < 0 — a^2 > 32 — a < -4\sqrt{2} \text{ или } a > 4\sqrt{2}. \)

Таким образом, значения \( a \) для каждого случая:

1) Единственное решение: \( a = \pm 4\sqrt{2} \).
2) Два решения: \( -4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2} \).
3) Нет решений: \( a < -4\sqrt{2} \text{ или } a > 4\sqrt{2} \).