Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 194 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\[
x^2 + y^2 = 16, \quad x — y = a
\]
Второе уравнение:
\[
x — y = a \implies x = y + a
\]
Первое уравнение:
\[
(y + a)^2 + y^2 = 16
\]
\[
y^2 + 2ay + a^2 + y^2 = 16
\]
\[
2y^2 + 2ay + (a^2 — 16) = 0
\]
\[
D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 16)
\]
\[
D = 4a^2 — 8(a^2 — 16) = 4a^2 — 8a^2 + 128 = 128 — 4a^2
\]
1) Имеет одно решение:
\[
D = 0 \implies 128 — 4a^2 = 0 \implies 4a^2 = 128 \implies a^2 = 32 \implies a = \pm \sqrt{32} = \pm 4\sqrt{2}
\]
Ответ:
\[
a \in (-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})
\]
2) Имеет два решения:
\[
D > 0 \implies 128 — 4a^2 > 0 \implies 4(a^2 — 32) < 0 \implies a^2 — 32 < 0 \implies a^2 < 32 \implies |a| < 4\sqrt{2}
\]
Ответ:
\[
a \in (-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})
\]
3) Не имеет решений:
\[
D < 0 \implies 128 — 4a^2 < 0 \implies 4(a^2 — 32) > 0 \implies a^2 — 32 > 0 \implies a^2 > 32 \implies |a| > 4\sqrt{2}
\]
Ответ:
\[
a \in (-\infty; -4\sqrt{2}) \cup (4\sqrt{2}; +\infty)
\]
Рассмотрим систему уравнений:
1) \( x^2 + y^2 = 16 \) — это уравнение окружности радиуса 4 с центром в начале координат.
2) \( x — y = a \) — это уравнение прямой.
Чтобы понять, при каких значениях \( a \) система имеет разное количество решений, нужно выяснить, как прямая пересекает окружность.
Для этого выразим \( y \) из второго уравнения:
\[ y = x — a. \]
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[ x^2 + (x — a)^2 = 16. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (x^2 — 2ax + a^2) = 16, \]
\[ 2x^2 — 2ax + a^2 — 16 = 0. \]
Это квадратное уравнение относительно \( x \):
\[ 2x^2 — 2ax + (a^2 — 16) = 0. \]
Теперь найдем дискриминант этого уравнения:
\[ D = (-2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 16) = 4a^2 — 8(a^2 — 16) = 4a^2 — 8a^2 + 128 = -4a^2 + 128. \]
Теперь определим количество решений в зависимости от дискриминанта \( D \):
1) Единственное решение: \( D = 0 \)
\(
-4a^2 + 128 = 0 \implies a^2 = 32 \implies a = \pm 4\sqrt{2}.
\)
2) Два решения: \( D > 0 \)
\(
-4a^2 + 128 > 0 \implies a^2 < 32 \implies -4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2}.
\)
3) Нет решений: \( D < 0 \)
\[
-4a^2 + 128 < 0 \ — a^2 > 32 \ — a < -4\sqrt{2} \text{ или } a > 4\sqrt{2}.
\]
Таким образом, значения \( a \) для каждого случая:
1) Единственное решение: \( a = \pm 4\sqrt{2} \).
2) Два решения: \( -4\sqrt{2} < a < 4\sqrt{2} \).
3) Нет решений: \( a < -4\sqrt{2} \text{ или } a > 4\sqrt{2} \).
Повторение курса алгебры
