ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 196 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении переменной \(a\) верны следующие неравенства:

1) \(
(a + 8)(a — 7) > (a + 10)(a — 9);
\)

2) \(
(a + 6)^2 — 3 < (a + 5)(a + 7).
\)

1) \((a + 8)(a — 7) > (a + 10)(a — 9)\);
\(a^2 + 8a — 7a — 56 > a^2 — 9a + 10a — 90\);
\(a^2 + a — 56 > a^2 + a — 90\), \(-56 > -90\);
Неравенство доказано.

2) \((a+ 6)^2 — 3 < (a+ 5)(a + 7)\);
\(a^2 + 12a + 36 — 3 < a^2 + 5a + 7a + 35\);
\(a^2 + 12a + 33 < a^2 + 12a + 35\), \(33 < 35\);
Неравенство доказано.

Для доказательства данных неравенств рассмотрим каждое из них по отдельности.

1) Неравенство \((a+8)(a-7) > (a+10)(a-9)\):

Раскроем скобки:

\((a+8)(a-7) = a^2 — 7a + 8a — 56 = a^2 + a — 56\)

\((a+10)(a-9) = a^2 — 9a + 10a — 90 = a^2 + a — 90\)

Теперь сравним два полученных выражения:

\(a^2 + a — 56 > a^2 + a — 90\)

Упростим неравенство, вычитая \(a^2 + a\) с обеих сторон:

\(-56 > -90\)

Это неравенство верно для любых значений \(a\). Следовательно, первое неравенство выполняется для любого \(a\).

2) Неравенство \((a+6)^2 — 3 < (a+5)(a+7)\):

Раскроем скобки:

\((a+6)^2 — 3 = a^2 + 12a + 36 — 3 = a^2 + 12a + 33\)

\((a+5)(a+7) = a^2 + 7a + 5a + 35 = a^2 + 12a + 35\)

Теперь сравним два полученных выражения:

\(a^2 + 12a + 33 < a^2 + 12a + 35\)

Упростим неравенство, вычитая \(a^2 + 12a\) с обеих сторон:

\(33 < 35\)

Это неравенство также верно для любых значений \(a\). Следовательно, второе неравенство выполняется для любого \(a\).

Таким образом, оба неравенства верны для любых значений переменной \(a\).