ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 197 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что выполняются следующие неравенства:

1)
\(
a(a — 8) > 2(a — 13) \quad \text{при всех } a \in \mathbb{R};
\)

2)
\(
x^{2} + 4y^{2} + 6x + 4y + 10 \geq 0 \quad \text{при всех } x, y \in \mathbb{R};
\)

3)
\(
x^{2} + 10xy + 26y^{2} — 12y + 40 > 0 \quad \text{при всех } x, y \in \mathbb{R};
\)

4)
\(
ab(a + b) \geq a^{3} + b^{3}, \quad \text{если } a < 0, \quad b < 0;
\)

5)
\(
m^{3} + 2m^{2} — 4m — 8 > 0, \quad \text{если } m > 2;
\)

6)
\(
\frac{a^{2} + 5}{\sqrt{a^{2} + 4}} > 2 \quad \text{при всех } a \in \mathbb{R}.
\)

1) \( a(a-8) > 2(a-13) \)

\(
a^2 — 10a + 26 > 0
\)
Дискриминант \( D = -4 < 0 \). Неравенство выполняется для всех \( a \).

2) \( x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0 \)

\(
(x+3)^2 + 4(y+0.5)^2 \geq 0
\)
Неравенство выполняется для всех \( x, y \).

3) \( x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0 \)

Дискриминант:
\(
D = (10y)^2 — 4(26y^2 — 12y + 40) < 0
\)
Неравенство выполняется для всех \( x, y \).

4) \( ab(a+b) \geq a^3 + b^3, \; a < 0, b < 0 \)

Используя \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 — ab + b^2) \), неравенство выполняется.

5) \( m^3 + 2m^2 — 4m — 8 > 0, \; m > 2 \)

Проверка в точке \( m = 3 \):
\(
f(3) = 3^3 + 2(3^2) — 4(3) — 8 = 11 > 0
\)
Неравенство выполняется для \( m > 2 \).

6) \( \frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2 \)

Упрощаем неравенство:
\(
a^2 + 5 > 2\sqrt{a^2 + 4}
\)
Квадрат обеих сторон даёт:
\(
(a^2 + 5)^2 > 4(a^2 + 4)
\)
Разложив и упростив, получаем неравенство, выполняющееся для всех \( a \).

1)
\(
a(a-8) > 2(a-13)
\)

Раскроем скобки:
\(
a^2 — 8a > 2a — 26
\)

Перенесём все в левую часть:
\(
a^2 — 8a — 2a + 26 > 0 — a^2 — 10a + 26 > 0
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 — 104 = -4 < 0
\)

Поскольку \(D < 0\) и коэффициент при \(a^2\) положителен, парабола открыта вверх и не пересекает ось \(a\). Значит,
\(
a^2 — 10a + 26 > 0 \quad \forall a \in \mathbb{R}.
\)

2)
\(
x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0
\)

Перегруппируем и дополнительно выделим квадраты:
\(
(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 + 4y + 1) + 10 — 9 — 1 = (x+3)^2 + 4(y+0.5)^2 + 0
\)

Так как квадрат любого выражения неотрицателен, то
\(
(x+3)^2 \geq 0, \quad 4(y+0.5)^2 \geq 0,
\)
следовательно,
\(
x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0 \quad \forall x,y \in \mathbb{R}.
\)

3)
\(
x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0
\)

Рассмотрим это выражение как квадратное относительно \(x\):
\(
x^2 + (10y)x + (26y^2 — 12y + 40).
\)

Вычислим дискриминант по \(x\):
\(
D_x = (10y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (26y^2 — 12y + 40) = 100y^2 — 104y^2 + 48y — 160 =
\)
\(
= -4y^2 + 48y — 160.
\)

Рассмотрим квадратное уравнение по \(y\):
\(
-4y^2 + 48y — 160 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D_y = 48^2 — 4 \cdot (-4) \cdot (-160) = 2304 — 2560 = -256 < 0.
\)

Так как \(D_y < 0\), выражение \(D_x < 0\) для всех \(y\), значит, квадратное уравнение по \(x\) не имеет действительных корней, и парабола по \(x\) всегда положительна. Следовательно,
\(
x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0 \quad \forall x,y \in \mathbb{R}.
\)

4)
\(
ab(a+b) \geq a^3 + b^3, \quad \text{если } a < 0, b < 0.
\)

Используем формулу суммы кубов:
\(
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 — ab + b^2).
\)

Тогда разность:
\(
ab(a+b) — (a^3 + b^3) = (a+b)(ab — (a^2 — ab + b^2)) =
\)
\(
= (a+b)(ab — a^2 + ab — b^2) = (a+b)(2ab — a^2 — b^2).
\)

Перепишем:
\(
2ab — a^2 — b^2 = -(a^2 — 2ab + b^2) = -(a — b)^2 \leq 0.
\)

Поскольку \(a < 0\) и \(b < 0\), сумма \(a + b < 0\). Значит,
\(
(a+b)(2ab — a^2 — b^2) = (a+b)(-(a-b)^2) \geq 0,
\)
так как произведение двух отрицательных чисел неотрицательно.

Следовательно,
\(
ab(a+b) \geq a^3 + b^3.
\)

5)
\(
m^3 + 2m^2 — 4m — 8 > 0, \quad m > 2.
\)

Обозначим функцию
\(
f(m) = m^3 + 2m^2 — 4m — 8.
\)

Проверим значение в точке \(m=2\):
\(
f(2) = 8 + 8 — 8 — 8 = 0.
\)

Проверим значение в точке \(m=3\):
\(
f(3) = 27 + 18 — 12 — 8 = 25 > 0.
\)

Найдём производную:
\(
f'(m) = 3m^2 + 4m — 4.
\)

Для \(m > 2\):
\(
f'(2) = 3 \cdot 4 + 8 — 4 = 12 + 8 — 4 = 16 > 0,
\)
а так как \(f'(m)\) — квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом, и значение в 2 положительно, то \(f'(m) > 0\) при \(m > 2\).

Следовательно, \(f(m)\) строго возрастает на интервале \(m > 2\), и поскольку \(f(2) = 0\), то
\(
f(m) > 0 \quad \forall m > 2.
\)

6)
\(
\frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2, \quad \forall a \in \mathbb{R}.
\)

Умножим обе части на \(\sqrt{a^2 + 4} > 0\):
\(
a^2 + 5 > 2 \sqrt{a^2 + 4}.
\)

Возведём обе части в квадрат:
\(
(a^2 + 5)^2 > 4(a^2 + 4).
\)

Раскроем скобки:
\(
a^4 + 10a^2 + 25 > 4a^2 + 16.
\)

Перенесём всё в левую часть:
\(
a^4 + 10a^2 + 25 — 4a^2 — 16 > 0 — a^4 + 6a^2 + 9 > 0.
\)

Выделим квадрат:
\(
a^4 + 6a^2 + 9 = (a^2 + 3)^2 > 0 \quad \forall a \in \mathbb{R}.
\)

Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех действительных \(a\).