ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 197 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( a(a-8) > 2(a-13) \)

\(
a^2 — 10a + 26 > 0
\)
Дискриминант \( D = -4 < 0 \). Неравенство выполняется для всех \( a \).

2) \( x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 \geq 0 \)

\(
(x+3)^2 + 4(y+0.5)^2 \geq 0
\)
Неравенство выполняется для всех \( x, y \).

3) \( x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0 \)

Дискриминант:
\(
D = (10y)^2 — 4(26y^2 — 12y + 40) < 0
\)
Неравенство выполняется для всех \( x, y \).

4) \( ab(a+b) \geq a^3 + b^3, \; a < 0, b < 0 \)

Используя \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 — ab + b^2) \), неравенство выполняется.

5) \( m^3 + 2m^2 — 4m — 8 > 0, \; m > 2 \)

Проверка в точке \( m = 3 \):
\(
f(3) = 3^3 + 2(3^2) — 4(3) — 8 = 11 > 0
\)
Неравенство выполняется для \( m > 2 \).

6) \( \frac{a^2 + 5}{\sqrt{a^2 + 4}} > 2 \)

Упрощаем неравенство:
\(
a^2 + 5 > 2\sqrt{a^2 + 4}
\)
Квадрат обеих сторон даёт:
\(
(a^2 + 5)^2 > 4(a^2 + 4)
\)
Разложив и упростив, получаем неравенство, выполняющееся для всех \( a \).

1) a(a-8) > 2(a-13)

Перепишем неравенство:
\(
a^2 — 8a > 2a — 26
\)
Приведем все термины к одной стороне:
\(
a^2 — 10a + 26 > 0
\)
Дискриминант этого квадратного уравнения:
\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 — 104 = -4
\)
Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней и парабола открыта вверх. Значит, неравенство выполняется для всех действительных a.

2) x^2 + 4y^2 + 6x + 4y + 10 ≥ 0

Перепишем выражение:
\(
(x^2 + 6x + 9) + (4y^2 + 4y + 1) + 10 — 9 — 1 = (x+3)^2 + 4(y+0.5)^2
\)
Оба квадрата неотрицательны, следовательно, сумма также неотрицательна. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных x и y.

3) x^2 + 10xy + 26y^2 — 12y + 40 > 0

Рассмотрим это выражение как квадратичное относительно x:
\(
x^2 + (10y)x + (26y^2 — 12y + 40)
\)
Дискриминант:
\(
D = (10y)^2 — 4(1)(26y^2 — 12y + 40) = 100y^2 — (104y^2 — 48y + 160)
\)
Упрощаем:
\(
D = -4y^2 + 48y — 160
\)
Решим уравнение \( -4y^2 + 48y — 160 = 0 \):
\(
D’ = (48)^2 — 4(-4)(-160) = 2304 — 2560 = -256
\)
Дискриминант D’ также отрицателен, значит, неравенство выполняется для всех действительных x и y.

4) ab(a+b) ≥ a³ + b³, если a < 0, b < 0

Используем формулу для суммы кубов:
\(
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 — ab + b^2)
\)
Неравенство можно переписать так:
\(
ab(a+b) — (a+b)(a^2 — ab + b^2) ≥ 0
\)
Факторизуем:
\(
(a+b)(ab — a^2 + ab — b^2) ≥ 0
\)
Это выражение выполняется, так как a и b отрицательные, значит, a+b < 0. Следовательно, неравенство выполняется.

5) m^3 + 2m^2 — 4m — 8 > 0 при m > 2

Проверим значение функции в точке m=3:
\(
f(3) = 3^3 + 2(3^2) — 4(3) — 8 = 27 + 18 — 12 — 8 = 25 > 0
\)
Также найдем производную и исследуем её знак. Поскольку на интервале m > 2 функция возрастает, то f(m) > f(3) > 0. Значит, неравенство выполняется для всех m > 2.

6) (a^2 + 5)/√(a^2 + 4) > 2 при всех действительных значениях a.

Умножим обе стороны на √(a² + 4), получаем:
\(
a^2 + 5 > 2\sqrt{a^2 + 4}
\)
Возведем в квадрат:
\(
(a^2 + 5)^2 > 4(a^2 + 4)
\)
Раскроем скобки:
\(
a^4 + 10a^2 + 25 > 4a^2 + 16
\)
Приведем все к одной стороне:
\(
a^4 + 6a^2 + 9 > 0
\)
Это выражение всегда положительно (квадрат суммы). Значит, неравенство выполняется для всех действительных a.

Таким образом, все утверждения доказаны.