ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 211 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) уравнение:

1)
\(
x^{2} + x — a = 0
\)

не имеет корней;

2)
\(
2x^{2} — 16x + 5a = 0
\)

имеет хотя бы один действительный корень?

Все значения а:
1) \(x^2 + x — a = 0\); Не имеет корней:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot a < 0\); \(4a < -1\), \(a < -0,25\);
Ответ: \((- \infty; -0,25)\).

2) \(2x^2 — 16x + 5a = 0\);
Уравнение имеет корни:
\(D = 16^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5a > 0\); \(40a \leq 256\), \(a \leq 6,4\);
Ответ: \((- \infty; 6,4]\).

1) Уравнение \( x^2 + x — a = 0 \) не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля. Дискриминант \( D \) уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:

\(
D = b^2 — 4ac
\)

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -a \). Таким образом, дискриминант будет:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a
\)

Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы \( D < 0 \):

\(
1 + 4a < 0
\)

Решим это неравенство:

\(
4a < -1 \\
a < -\frac{1}{4}
\)

Таким образом, уравнение \( x^2 + x — a = 0 \) не имеет корней при \( a < -\frac{1}{4} \).

2) Уравнение \( 2x^2 — 16x + 5a = 0 \) имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант больше или равен нулю. Дискриминант будет:

\(
D = (-16)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5a = 256 — 40a
\)

Чтобы уравнение имело хотя бы один действительный корень, необходимо, чтобы \( D \geq 0 \):

\(
256 — 40a \geq 0
\)

Решим это неравенство:

\(
256 \geq 40a \\
a \leq \frac{256}{40} \\
a \leq 6.4
\)

Таким образом, уравнение \( 2x^2 — 16x + 5a = 0 \) имеет хотя бы один действительный корень при \( a \leq 6.4 \).