ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 212 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите системы неравенств:

1)
\(
\begin{cases}
7x — 1 \; ? \; 5x — 3, \\
3x + 6 \; ? \; 8x — 14
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
0{,}6(x — 6) \; ? \; x + 2, \\
4x + 7 > 2(x + 6{,}5)
\end{cases}
\)

3)
\(
\begin{cases}
3x(x — 3) — x(2 + 3x) < 4, \\
6x^{2} — (2x — 3)(3x + 4) < 17
\end{cases}
\)

4)
\(
\begin{cases}
\frac{5x — 10}{6} > \frac{2x + 1}{3}, \\
\frac{3x + 1}{2} — 4x > 5 — \frac{3x — 2}{4}
\end{cases}
\)

5)
\(
\begin{cases}
3x — 4 > 3(x + 1) — 10, \\
0{,}2(5 — x) \; ? \; 1{,}5(x + 1{,}4) + 0{,}6
\end{cases}
\)

6)
\(
\begin{cases}
1 — \frac{3x — 8}{7} > 3x, \\
x(x — 4) — (x + 1)(x — 5) < 2
\end{cases}
\)

Решить систему неравенств:

1)
\(
\begin{cases}
7x — 1 \geq 5x — 3, \\
3x + 6 \geq 8x — 14
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(2x \geq -2, \quad x \geq -1;\)

Второе неравенство:
\(5x \leq 20, \quad x \leq 4;\)

Ответ: \([-1; 4].\)

2)
\(
\begin{cases}
0,6(x — 6) \leq x + 2, \\
4x + 7 > 2(x + 6,5)
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(0,6x — 3,6 \leq x + 2; \)
\(0,4x \geq -5,6, \quad x \geq -1,4;\)

Второе неравенство:
\(4x + 7 > 2x + 13; \quad 2x > 6, \quad x > 3;\)

Ответ: \((3; +\infty).\)

3)
\(
\begin{cases}
3x(x — 3) — x(2 + 3x) < 4, \\
6x^{2} — (2x — 3)(3x + 4) < 17
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(3x^{2} — 9x — 2x — 3x^{2} < 4;\)
\(-11x < 4, \quad x > -\frac{4}{11};\)

Второе неравенство:
\(6x^{2} — 6x^{2} — 8x + 9x + 12 < 17;\)
\(0x^{2} + 9x — 8x + 12 < 17, \quad x < 5;\)

Ответ: \(\left(-\frac{4}{11}; 5\right).\)

4)
\(
\begin{cases}
\frac{5x — 10}{6} > \frac{2x + 1}{3}, \\
\frac{3x + 1}{2} — 4x > 5 — \frac{3x — 2}{4}
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(5x — 10 > 4x + 2;\)
\(x > 2 + 10, \quad x > 12;\)

Второе неравенство:
\(6 \cdot x + 2 — 16 \cdot x > 20 — 3x + 2;\)
\(-7x > 20, \quad 7x < -20, \quad x < -2 \frac{6}{7};\)

Ответ: решений нет.

5)
\(
\begin{cases}
3x — 4 > 3(x + 1) — 10, \\
0,2(5 — x) \leq 1,5(x + 1,4) + 0,6
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(3x — 4 > 3x + 3 — 10;\)
\(-4 > -7, \quad x \in \mathbb{R};\)

Второе неравенство:
\(1 — 0,2x \leq 1,5x + 2,1 + 0,6;\)
\(1,7 \cdot x \geq 2,7 — 1, \quad x \geq -1;\)

Ответ: \([-1; +\infty).\)

6)
\(
\begin{cases}
1 — \frac{3x — 8}{7} > 3x, \\
x(x — 4) — (x + 1)(x — 5) < 2
\end{cases}
\)

Второе неравенство:
\(x^{2} — 4x — x^{2} + 5x — x + 5 < 2;\)
\(-5x + 5x < 3, \quad 0x < -3, \quad x \in \emptyset;\)

Ответ: решений нет.

1)
\(
\begin{cases}
7x — 1 \geq 5x — 3, \\
3x + 6 \geq 8x — 14
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
7x — 1 \geq 5x — 3
\)
Переносим все члены с \(x\) в левую часть, числа — в правую:
\(
7x — 5x \geq -3 + 1
\)
\(
2x \geq -2
\)
Делим обе части на 2 (положительное число, знак не меняется):
\(
x \geq -1
\)

Второе неравенство:
\(
3x + 6 \geq 8x — 14
\)
Переносим:
\(
3x — 8x \geq -14 — 6
\)
\(
-5x \geq -20
\)
Делим на \(-5\) (отрицательное число, знак неравенства меняется):
\(
x \leq 4
\)

Объединение решений:
\(
x \in [-1; 4]
\)

2)
\(
\begin{cases}
0.6(x — 6) \leq x + 2, \\
4x + 7 > 2(x + 6.5)
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
0.6x — 3.6 \leq x + 2
\)
Переносим все с \(x\) в левую часть, числа — в правую:
\(
0.6x — x \leq 2 + 3.6
\)
\(
-0.4x \leq 5.6
\)
Делим на \(-0.4\) (отрицательное число, меняем знак):
\(
x \geq -14
\)
(в исходном решении указано \(x \geq -1.4\), скорее всего ошибка в десятичной точке, проверим ещё раз)

Проверим точнее:
\(
-0.4x \leq 5.6 — x \geq \frac{5.6}{-0.4} = -14
\)

Второе неравенство:
\(
4x + 7 > 2x + 13
\)
Переносим:
\(
4x — 2x > 13 — 7
\)
\(
2x > 6
\)
\(
x > 3
\)

Объединяем:
\(
x \geq -14, \quad x > 3 — x > 3
\)

Ответ:
\(
(3; +\infty)
\)

3)
\(
\begin{cases}
3x(x — 3) — x(2 + 3x) < 4, \\
6x^{2} — (2x — 3)(3x + 4) < 17
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
Раскроем скобки:
\(
3x^{2} — 9x — 2x — 3x^{2} < 4
\)
Сократим \(3x^{2}\) и \(-3x^{2}\):
\(
-11x < 4
\)
Делим на \(-11\) (отрицательное, меняем знак):
\(
x > -\frac{4}{11}
\)

Второе неравенство:
Раскроем скобки:
\(
6x^{2} — (2x — 3)(3x + 4) < 17
\)
Вычислим произведение:
\(
(2x — 3)(3x + 4) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 — 3 \cdot 3x — 3 \cdot 4 = 6x^{2} + 8x — 9x — 12 =
\)
\(
= 6x^{2} — x — 12
\)
Подставим:
\(
6x^{2} — (6x^{2} — x — 12) < 17
\)
\(
6x^{2} — 6x^{2} + x + 12 < 17
\)
\(
x + 12 < 17
\)
\(
x < 5
\)

Объединяем:
\(
x \in \left(-\frac{4}{11}; 5\right)
\)

4)
\(
\begin{cases}
\frac{5x — 10}{6} > \frac{2x + 1}{3}, \\
\frac{3x + 1}{2} — 4x > 5 — \frac{3x — 2}{4}
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
Домножим обе части на 6 (наименьший общий знаменатель):
\(
5x — 10 > 2 \cdot (2x + 1)
\)
\(
5x — 10 > 4x + 2
\)
Переносим:
\(
5x — 4x > 2 + 10
\)
\(
x > 12
\)

Второе неравенство:
Домножим обе части на 4 (наименьший общий знаменатель):
\(
2 \cdot (3x + 1) — 16x > 20 — (3x — 2)
\)
В левой части:
\(
6x + 2 — 16x = -10x + 2
\)
В правой части:
\(
20 — 3x + 2 = 22 — 3x
\)
Неравенство:
\(
-10x + 2 > 22 — 3x
\)
Переносим все в левую сторону:
\(
-10x + 2 — 22 + 3x > 0
\)
\(
-7x — 20 > 0
\)
\(
-7x > 20
\)
Делим на \(-7\) (знак меняется):
\(
x < -\frac{20}{7} = -2 \frac{6}{7}
\)

Объединяем:
\(
x > 12 \quad \text{и} \quad x < -2 \frac{6}{7}
\)

Таких \(x\) не существует, поэтому решений нет.

5)
\(
\begin{cases}
3x — 4 > 3(x + 1) — 10, \\
0.2(5 — x) \leq 1.5(x + 1.4) + 0.6
\end{cases}
\)

Первое неравенство:
\(
3x — 4 > 3x + 3 — 10
\)
\(
3x — 4 > 3x — 7
\)
Вычитаем \(3x\) с обеих сторон:
\(
-4 > -7
\)
Это всегда верно, значит первое неравенство выполняется при любом \(x \in \mathbb{R}\).

Второе неравенство:
Раскроем скобки:
\(
1 — 0.2x \leq 1.5x + 2.1 + 0.6
\)
\(
1 — 0.2x \leq 1.5x + 2.7
\)
Переносим все с \(x\) в левую часть, числа — в правую:
\(
-0.2x — 1.5x \leq 2.7 — 1
\)
\(
-1.7x \leq 1.7
\)
Делим на \(-1.7\) (знак меняется):
\(
x \geq -1
\)

Объединяем:
\(
x \in [-1; +\infty)
\)

6)
\(
\begin{cases}
1 — \frac{3x — 8}{7} > 3x, \\
x(x — 4) — (x + 1)(x — 5) < 2
\end{cases}
\)

Второе неравенство:
Раскроем скобки:
\(
x^2 — 4x — (x^2 — 4x — 5) < 2
\)
Внимание, раскроем аккуратно:
\(
(x + 1)(x — 5) = x^2 — 5x + x — 5 = x^2 — 4x — 5
\)
Подставим:
\(
x^2 — 4x — (x^2 — 4x — 5) < 2
\)
\(
x^2 — 4x — x^2 + 4x + 5 < 2
\)
\(
5 < 2
\)
Это неверно для любого \(x\).

Значит решений для второго неравенства нет, и вся система решений не имеет.