ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 220 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство:

1)
\(
20 + 8x — x^2 > 0;
\)

2)
\(
4x^2 — 17x + 4 \; ? \; 0?
\)

Число целых решений:

1) \( 20 + 8x — x^2 > 0 \); \( x^2 — 8x — 20 < 0 \);
\( D = 8^2 + 4 \cdot 20 = 64 + 80 = 144 \), тогда:
\( x_1 = \frac{8 — 12}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{8 + 12}{2} = 10 \);
\( (x + 2)(x — 10) < 0 \), \( -2 < x < 10 \);
Ответ: \( 11 \) решений.

2) \( 4x^2 — 17x + 4 \leq 0 \);
\( D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225 \), тогда:
\( x_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} \),
\( x_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = 4 \);
\( (x — \frac{1}{4})(x — 4) \leq 0 \),
Ответ: \( 4 \) решения.

число целых решений:

1) дано неравенство \( 20 + 8x — x^2 > 0 \). преобразуем его:
\(-x^2 + 8x + 20 > 0\), умножим обе части на \(-1\) (меняем знак неравенства):
\(x^2 — 8x — 20 < 0\).
решим квадратное уравнение \(x^2 — 8x — 20 = 0\), чтобы найти корни. дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144\).
тогда корни:
\(x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 12}{2} = -2\),
\(x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = 10\).

знаки выражения \(x^2 — 8x — 20\) меняются на интервалах, определяемых корнями:
\((- \infty, -2)\), \((-2, 10)\), \((10, +\infty)\).
выражение \(x^2 — 8x — 20 < 0\) выполняется на интервале \((-2, 10)\).
целые значения \(x\), принадлежащие этому интервалу:
\(-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\).
итого \(11\) решений.

2) дано неравенство \(4x^2 — 17x + 4 \leq 0\). решим квадратное уравнение \(4x^2 — 17x + 4 = 0\):
дискриминант:
\(D = (-17)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225\).
тогда корни:
\(x_1 = \frac{-(-17) — \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 — 15}{8} = \frac{1}{4}\),
\(x_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = 4\).

знаки выражения \(4x^2 — 17x + 4\) меняются на интервалах, определяемых корнями:
\((-\infty, \frac{1}{4})\), \((\frac{1}{4}, 4)\), \((4, +\infty)\).
выражение \(4x^2 — 17x + 4 \leq 0\) выполняется на интервале \([\frac{1}{4}, 4]\).

целые значения \(x\), принадлежащие этому интервалу:
\(1, 2, 3, 4\).
итого \(4\) решения.