ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 235 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростим выражение:

1)
\(
\frac{a^{-2} — 5}{a^{-4} + 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} — 25}{4a^{-2} + 12} + \frac{2}{a^{-2} + 5} = \frac{a^{-2} — 5}{(a^{-2} + 3)^2} \cdot \frac{4(a^{-2} + 3)}{(a^{-2} + 5)(a^{-2} — 5)} + \frac{2}{a^{-2} + 5}
\)

\(
= \frac{4 + 2(a^{-2} + 3)}{(a^{-2} + 3)(a^{-2} + 5)} = \frac{2(a^{-2} + 5)}{(a^{-2} + 3)(a^{-2} + 5)} = \frac{2}{a^{-2} + 3} = \frac{2a^2}{1 + 3a^2}
\)

2)
\(
\left(b^{-1} — \frac{8b^{-1} — 36}{b^{-1} — 4}\right) \cdot \left(2b^{-1} — \frac{4b^{-1}}{b^{-1} — 4}\right)^{-1} = \frac{\frac{17}{4b^{-1}} — 8b^{-1} + 36}{b^{-2} — 4b^{-1} — 8b^{-1} + 36}
\)

\(
= \frac{b^{-2} — 12b^{-1} + 36}{b^{-1} — 4} = \frac{(b^{-1} — 6)^2}{2b^{-1}(b^{-1} — 6)} = \frac{1 — 6b}{2}
\)

рассмотрим первое выражение:

\(
\frac{a^{-2} — 5}{a^{-4} + 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} — 25}{4a^{-2} + 12} + \frac{2}{a^{-2} + 5}
\)

заменим знаменатель \(a^{-4} + 6a^{-2} + 9\) на \((a^{-2} + 3)^2\), а \(a^{-4} — 25\) на \((a^{-2} — 5)(a^{-2} + 5)\). тогда выражение принимает вид:

\(
\frac{a^{-2} — 5}{(a^{-2} + 3)^2} : \frac{(a^{-2} — 5)(a^{-2} + 5)}{4(a^{-2} + 3)} + \frac{2}{a^{-2} + 5}
\)

заменяем деление на умножение, переворачивая второй дробь:

\(
\frac{a^{-2} — 5}{(a^{-2} + 3)^2} \cdot \frac{4(a^{-2} + 3)}{(a^{-2} — 5)(a^{-2} + 5)} + \frac{2}{a^{-2} + 5}
\)

сокращаем \(a^{-2} — 5\) в первой дроби:

\(
\frac{4}{(a^{-2} + 3)(a^{-2} + 5)} + \frac{2}{a^{-2} + 5}
\)

приводим к общему знаменателю:

\(
\frac{4 + 2(a^{-2} + 3)}{(a^{-2} + 3)(a^{-2} + 5)}
\)

упрощаем числитель:

\(
\frac{2(a^{-2} + 5)}{(a^{-2} + 3)(a^{-2} + 5)}
\)

сокращаем \(a^{-2} + 5\):

\(
\frac{2}{a^{-2} + 3}
\)

переписываем через положительные степени:

\(
\frac{2a^2}{1 + 3a^2}
\)

теперь рассмотрим второе выражение:

\(
\left(b^{-1} — \frac{8b^{-1} — 36}{b^{-1} — 4}\right) \cdot \left(2b^{-1} — \frac{4b^{-1}}{b^{-1} — 4}\right)^{-1}
\)

приведем первое скобочное выражение к общему знаменателю:

\(
b^{-1} — \frac{8b^{-1} — 36}{b^{-1} — 4} = \frac{(b^{-1})(b^{-1} — 4) — (8b^{-1} — 36)}{b^{-1} — 4}
\)

раскрываем скобки в числителе:

\(
\frac{b^{-2} — 4b^{-1} — 8b^{-1} + 36}{b^{-1} — 4}
\)

упрощаем числитель:

\(
\frac{b^{-2} — 12b^{-1} + 36}{b^{-1} — 4}
\)

теперь рассмотрим второе скобочное выражение и возьмем его обратное:

\(
\left(2b^{-1} — \frac{4b^{-1}}{b^{-1} — 4}\right)^{-1}
\)

приводим к общему знаменателю:

\(
\left(\frac{2b^{-1}(b^{-1} — 4) — 4b^{-1}}{b^{-1} — 4}\right)^{-1}
\)

раскрываем скобки в числителе:

\(
\left(\frac{2b^{-2} — 8b^{-1}}{b^{-1} — 4}\right)^{-1}
\)

берем обратное:

\(
\frac{b^{-1} — 4}{2b^{-2} — 8b^{-1}}
\)

теперь умножаем упрощенные выражения:

\(
\frac{b^{-2} — 12b^{-1} + 36}{b^{-1} — 4} \cdot \frac{b^{-1} — 4}{2b^{-2} — 8b^{-1}}
\)

сокращаем \(b^{-1} — 4\):

\(
\frac{b^{-2} — 12b^{-1} + 36}{2b^{-2} — 8b^{-1}}
\)

выносим общий множитель из числителя и знаменателя:

\(
\frac{(b^{-1} — 6)^2}{2b^{-1}(b^{-1} — 6)}
\)

сокращаем \(b^{-1} — 6\):

\(
\frac{b^{-1} — 6}{2b^{-1}}
\)

упрощаем:

\(
\frac{1 — 6b}{2}
\)