ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 237 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Область определения:
1) \( f(x) = \sqrt{3 — a} \);
\( 3 — a \geq 0 \), \( a \leq 3 \); Ответ: \( (-\infty, 3] \).
2) \( f(x) = \sqrt{a^2} \);
\( a^2 \geq 0 \), \( a \in \mathbb{R} \); Ответ: \( (-\infty, +\infty) \).
3) \( f(x) = \sqrt{a^4 + 1} \);
\( a^4 + 1 \geq 0 \), \( a \in \mathbb{R} \); Ответ: \( (-\infty, +\infty) \).
4) \( f(x) = (x + 4)^{1/8} \);
\( x + 4 \geq 0 \), \( x \geq -4 \);
Ответ: \( [-4, +\infty) \).

5) \( f(x) = \sqrt{a — 8} \);
\( (a — 8) \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \); Ответ: \( (-\infty; +\infty) \).

6) \( f(x) = \sqrt{-x^2} \);
\( -x^2 \geq 0, x = 0 \); Ответ: \( \{0\} \).

7) \( f(x) = \sqrt{y^2 + y} \);
\( y^2 + y \geq 0, y(y + 1) \geq 0 \);
Ответ: \( (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) \).

8) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 2x — 8} \);
\( D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \);
\( (x + 2)(x — 4) \geq 0, x \leq -2, x \geq 4 \);
Ответ: \( (-\infty; -2] \cup [4; +\infty) \).

Область определения:

1) \( f(x) = \sqrt{3 — a} \);
Подкоренное выражение \( 3 — a \) должно быть неотрицательным, то есть:
\(
3 — a \geq 0.
\)
Решая это неравенство, получаем:
\(
a \leq 3.
\)
Таким образом, область определения функции:
\(
(-\infty, 3].
\)

2) \( f(x) = \sqrt{a^2} \);
Подкоренное выражение \( a^2 \) всегда неотрицательно для любых значений \( a \), так как квадрат любого числа больше или равен нулю:
\(
a^2 \geq 0.
\)
Следовательно, область определения функции:
\(
(-\infty, +\infty).
\)

3) \( f(x) = \sqrt{a^4 + 1} \);
Подкоренное выражение \( a^4 + 1 \) всегда положительно для любых значений \( a \), так как \( a^4 \geq 0 \) и к нему добавляется единица. Следовательно:
\(
a^4 + 1 > 0.
\)
Таким образом, область определения функции:
\(
(-\infty, +\infty).
\)

4) \( f(x) = (x + 4)^{1/8} \);
Основание под корнем восьмой степени \( x + 4 \) должно быть неотрицательным, то есть:
\(
x + 4 \geq 0.
\)
Решая это неравенство, получаем:
\(
x \geq -4.
\)
Таким образом, область определения функции:
\(
[-4, +\infty).
\)

5) \( f(x) = \sqrt{a — 8} \);
Подкоренное выражение \( a — 8 \) должно быть неотрицательным, то есть:
\(
a — 8 \geq 0.
\)
Решая это неравенство, получаем:
\(
a \geq 8.
\)
Таким образом, область определения функции:
\(
[8, +\infty).
\)

6) \( f(x) = \sqrt{-x^2} \);
Подкоренное выражение \( -x^2 \) должно быть неотрицательным, то есть:
\(
-x^2 \geq 0.
\)
Это возможно только в случае, если \( x = 0 \), так как квадрат любого числа неотрицателен, а знак минус перед ним делает его отрицательным. Следовательно:
\(
x = 0.
\)
Таким образом, область определения функции:
\(
\{0\}.
\)

7) \( f(x) = \sqrt{y^2 + y} \);
Подкоренное выражение \( y^2 + y \) должно быть неотрицательным, то есть:
\(
y^2 + y \geq 0.
\)
Разложим на множители:
\(
y(y + 1) \geq 0.
\)
Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения \( y(y + 1) = 0 \):
\(
y = 0, \quad y = -1.
\)
Знаки на интервалах определяем по схеме:
— При \( y < -1 \): произведение отрицательно.
— При \( -1 < y < 0 \): произведение отрицательно.
— При \( y > 0 \): произведение положительно.

Таким образом, решение неравенства:
\(
y \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty).
\)

8) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 2x — 8} \);
Найдем дискриминант квадратного трехчлена \( x^2 — 2x — 8 \):
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\)
Найдем корни уравнения \( x^2 — 2x — 8 = 0 \):
\(
x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2} = \frac{2 — 6}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\)

Знаками на интервалах определяем, где выражение \( x^2 — 2x — 8 \geq 0 \). Раскладываем на множители:
\(
(x + 2)(x — 4) \geq 0.
\)

Решением является объединение интервалов:
\(
x \leq -2, \quad x \geq 4.
\)

Таким образом, область определения функции:
\(
(-\infty; -2] \cup [4; +\infty).
\)