ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть \( a \) и \( b \) — натуральные числа, такие что \( a \) — чётное, а \( b \) — нечётное. Какое из следующих выражений обязательно является чётным числом:

1) \( a^2 + 3 \)

2) \( b(a + b) \)

3) \( \frac{ab}{2} \)

4) \( \frac{a^2}{2} \)

Натуральные числа:
\( a, b \in \mathbb{N} \), \( a \mod 2 = 0 \), \( b \mod 2 = 1 \);

1) \( (a^2 + 3) \mod 2 \); \( a^2 \mod 2 = 0 \), \( 3 \mod 2 = 1 \); Ответ: нет.

2) \( b \cdot (a + b) \mod 2 \); \( b \mod 2 = 1 \), \( (a + b) \mod 2 = 1 \); Ответ: нет.

3) \( \frac{a \cdot b}{2} \); Ответ: нет.

4) \( \frac{a^2}{2} \); \( a^2 \mod 4 = 0 \); Ответ: да.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

1) \( a^2 + 3 \):
— \( a \) — чётное число, значит \( a^2 \) тоже чётное (чётное число в квадрате остаётся чётным).
— Чётное число + нечётное число (3) = нечётное число.
— Значение этого выражения не обязательно чётное.

2) \( b(a+b) \):
— \( b \) — нечётное число, \( a \) — чётное.
— Сумма \( a + b \) будет нечётной (чётное + нечётное = нечётное).
— Произведение нечётного и нечётного числа (b и (a+b)) будет нечётным.
— Значение этого выражения не обязательно чётное.

3) \( \frac{ab}{2} \):
— Произведение \( ab \) будет чётным (чётное число * нечётное число = чётное).
— Деление чётного числа на 2 даёт чётное или нечётное число, в зависимости от того, делится ли оно на 4.
— Значение этого выражения не обязательно чётное.

4) \( \frac{a^2}{2} \):
— \( a^2 \) — чётное число, и деление чётного числа на 2 всегда даёт целое число.
— Поскольку \( a \) — чётное, \( a^2 \) делится на 4 (чётное число в квадрате делится на 4 без остатка).
— Следовательно, \( \frac{a^2}{2} \) будет всегда чётным.

Таким образом, единственное выражение, значение которого обязательно является чётным числом, это \( \frac{a^2}{2} \).