Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 248 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
1) \quad \frac{\sqrt{x} + 1}{x — 1}
\)
\(
2) \quad \frac{a — 3\sqrt{a}}{a — 9}
\)
\(
3) \quad \frac{7 — \sqrt{7}}{\sqrt{7}}
\)
\(
4) \quad \frac{\sqrt{21} + 3}{7 + \sqrt{21}}
\)
\(
5) \quad \frac{m^{1/3} + n^{1/3}}{m + n}
\)
\(
6) \quad \frac{a^{1/4} — b^{1/4}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}
\)
\(
7) \quad \frac{x^{1/3} — 4}{x^{1/6} — 2}
\)
\(
8) \quad \frac{a + (a^3)^{1/4}}{\sqrt{a} + a^{1/4}}
\)
1) \(\frac{\sqrt{x} + 1}{x — 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} — 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} — 1};\)
2) \(\frac{a — 3\sqrt{a}}{a — 9} = \frac{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{a} — 3)}{(\sqrt{a} + 3)(\sqrt{a} — 3)} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3};\)
3) \(\frac{7 — \sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} — 1)}{\sqrt{7}} = \sqrt{7} — 1;\)
4) \(\frac{\sqrt{21} + 3}{7 + \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7};\)
5) \(\frac{\sqrt[3]{m} + \sqrt[3]{n}}{m + n} = \frac{1}{\sqrt[3]{m^2} — \sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{n^2}};\)
6) \(\frac{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}}{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}};\)
7) \(\frac{\sqrt[3]{x} — 4}{\sqrt[6]{x} — 2} = \frac{(\sqrt[6]{x} + 2) \cdot (\sqrt[6]{x} — 2)}{\sqrt[6]{x} — 2} = \sqrt[6]{x} + 2;\)
8) \(\frac{a + \sqrt{a^3}}{\sqrt{a} + \sqrt[4]{a}} = \frac{\sqrt[4]{a^3} \cdot (\sqrt[4]{a} + 1)}{\sqrt[4]{a} \cdot (\sqrt[4]{a} + 1)} = \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a};\)
1)
\(
\frac{\sqrt{x} + 1}{x — 1}
\)
Знаменатель раскладываем:
\(
x — 1 = (\sqrt{x})^2 — 1^2 = (\sqrt{x} — 1)(\sqrt{x} + 1)
\)
Подставляем:
\(
\frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} — 1)(\sqrt{x} + 1)}
\)
Сокращаем на \(\sqrt{x} + 1\):
\(
\frac{1}{\sqrt{x} — 1}
\)
2)
\(
\frac{a — 3\sqrt{a}}{a — 9}
\)
В числителе выносим \(\sqrt{a}\):
\(
a — 3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} — 3)
\)
В знаменателе:
\(
a — 9 = (\sqrt{a})^2 — 3^2 = (\sqrt{a} — 3)(\sqrt{a} + 3)
\)
Подставляем:
\(
\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} — 3)}{(\sqrt{a} — 3)(\sqrt{a} + 3)}
\)
Сокращаем на \(\sqrt{a} — 3\):
\(
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}
\)
3)
\(
\frac{7 — \sqrt{7}}{\sqrt{7}}
\)
В числителе выносим \(\sqrt{7}\):
\(
7 — \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} — \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{7} — 1)
\)
Подставляем:
\(
\frac{\sqrt{7}(\sqrt{7} — 1)}{\sqrt{7}}
\)
Сокращаем на \(\sqrt{7}\):
\(
\sqrt{7} — 1
\)
4)
\(
\frac{\sqrt{21} + 3}{7 + \sqrt{21}}
\)
Представим \(\sqrt{21}\) как \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}\):
Числитель:
\(
\sqrt{21} + 3 = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + 3 = \sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{3})
\)
Знаменатель:
\(
7 + \sqrt{21} = (\sqrt{7})^2 + \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{3})
\)
Подставляем:
\(
\frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}
\)
Сокращаем на \(\sqrt{7} + \sqrt{3}\):
\(
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
\)
Домножаем на \(\sqrt{7}\):
\(
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}
\)
5)
\(
\frac{\sqrt(3)(m) + \sqrt(3)(n)}{m + n}
\)
Используем формулу суммы кубов:
\(
m + n = (\sqrt(3)(m) + \sqrt(3)(n))(\sqrt(3)(m^2) — \sqrt(3)(mn) + \sqrt(3)(n^2))
\)
Подставляем:
\(
\frac{\sqrt(3)(m) + \sqrt(3)(n)}{(\sqrt(3)(m) + \sqrt(3)(n))(\sqrt(3)(m^2) — \sqrt(3)(mn) + \sqrt(3)(n^2))}
\)
Сокращаем на \(\sqrt(3)(m) + \sqrt(3)(n)\):
\(
\frac{1}{\sqrt(3)(m^2) — \sqrt(3)(mn) + \sqrt(3)(n^2)}
\)
6)
\(
\frac{\sqrt(4)(a) — \sqrt(4)(b)}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}
\)
Разложим знаменатель:
\(
\sqrt{a} — \sqrt{b} = (\sqrt(4)(a))^2 — (\sqrt(4)(b))^2 = (\sqrt(4)(a) — \sqrt(4)(b))(\sqrt(4)(a) +
\)
\(
+ \sqrt(4)(b))
\)
Подставляем:
\(
\frac{\sqrt(4)(a) — \sqrt(4)(b)}{(\sqrt(4)(a) — \sqrt(4)(b))(\sqrt(4)(a) + \sqrt(4)(b))}
\)
Сокращаем на \(\sqrt(4)(a) — \sqrt(4)(b)\):
\(
\frac{1}{\sqrt(4)(a) + \sqrt(4)(b)}
\)
7)
\(
\frac{\sqrt(3)(x) — 4}{\sqrt(6)(x) — 2}
\)
Заметим, что \(\sqrt(3)(x) = (\sqrt(6)(x))^2\), а \(4 = 2^2\).
\(
\sqrt(3)(x) — 4 = (\sqrt(6)(x))^2 — 2^2 = (\sqrt(6)(x) — 2)(\sqrt(6)(x) + 2)
\)
Подставляем:
\(
\frac{(\sqrt(6)(x) — 2)(\sqrt(6)(x) + 2)}{\sqrt(6)(x) — 2}
\)
Сокращаем на \(\sqrt(6)(x) — 2\):
\(
\sqrt(6)(x) + 2
\)
8)
\(
\frac{a + \sqrt{a^3}}{\sqrt{a} + \sqrt(4)(a)}
\)
Преобразуем числитель:
\(
a = (\sqrt(4)(a))^4, \quad \sqrt{a^3} = (\sqrt{a})^3 = ((\sqrt(4)(a))^2)^3 = (\sqrt(4)(a))^6
\)
\(
a + \sqrt{a^3} = (\sqrt(4)(a))^4 + (\sqrt(4)(a))^6 = \sqrt(4)(a^3)(\sqrt(4)(a) + 1)
\)
Знаменатель:
\(
\sqrt{a} + \sqrt(4)(a) = (\sqrt(4)(a))^2 + \sqrt(4)(a) = \sqrt(4)(a)(\sqrt(4)(a) + 1)
\)
Подставляем:
\(
\frac{\sqrt(4)(a^3)(\sqrt(4)(a) + 1)}{\sqrt(4)(a)(\sqrt(4)(a) + 1)}
\)
Сокращаем на \(\sqrt(4)(a) + 1\):
\(
\frac{\sqrt(4)(a^3)}{\sqrt(4)(a)} = \sqrt(4)(a^{3-1}) = \sqrt(4)(a^2) = \sqrt{a}
\)