ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 250 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1. \( \frac{21}{\sqrt{26} — \sqrt{5}} \)
2. \( \frac{14}{5 + \sqrt{18}} \)
3. \( \frac{8}{\sqrt[3]{3} — 1} \)
4. \( \frac{1}{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{2} + 1} \)

Сократить дробь:
1) \( \frac{21}{\sqrt{26} — \sqrt{5}} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{26 — 5} = \sqrt{26} + \sqrt{5}; \)
2) \( \frac{14}{5 + \sqrt{18}} = \frac{14(5 — \sqrt{18})}{25 — 18} = 2(5 — \sqrt{18}); \)
3) \( \frac{8}{\sqrt[3]{3} — 1} = \frac{8(\sqrt[3]{32} + \sqrt[3]{3} + 1)}{3 — 1} = 4(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1); \)
4) \( \frac{1}{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{2} + 1} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{2 + 1} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{3}. \)

Сократить дробь:

1) Освободимся от иррациональности в знаменателе:
\(
\frac{21}{\sqrt{26} — \sqrt{5}}
\)
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{26} + \sqrt{5} \):
\(
\frac{21}{\sqrt{26} — \sqrt{5}} = \frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{(\sqrt{26} — \sqrt{5})(\sqrt{26} + \sqrt{5})}
\)
В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов:
\(
\frac{21(\sqrt{26} + \sqrt{5})}{26 — 5} = \sqrt{26} + \sqrt{5}
\)

2) Освободимся от иррациональности в знаменателе:
\(
\frac{14}{5 + \sqrt{18}}
\)
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 5 — \sqrt{18} \):
\(
\frac{14}{5 + \sqrt{18}} = \frac{14(5 — \sqrt{18})}{(5 + \sqrt{18})(5 — \sqrt{18})}
\)
В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов:
\(
\frac{14(5 — \sqrt{18})}{25 — 18} = 2(5 — \sqrt{18})
\)

3) Освободимся от иррациональности в знаменателе:
\(
\frac{8}{\sqrt[3]{3} — 1}
\)
Домножим числитель и знаменатель на выражение \( \sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} + 1 \), которое является дополнительным множителем для кубической разности:
\(
\frac{8}{\sqrt[3]{3} — 1} = \frac{8(\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3} — 1)(\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3} + 1)}
\)
В знаменателе воспользуемся формулой кубической разности:
\(
\frac{8(\sqrt[3]{32} + \sqrt[3]{3} + 1)}{3 — 1} = 4(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)
\)

4) Освободимся от иррациональности в знаменателе:
\(
\frac{1}{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{2} + 1}
\)
Домножим числитель и знаменатель на выражение \( \sqrt[3]{2} + 1 \), которое является дополнительным множителем для упрощения:
\(
\frac{1}{\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{2} + 1} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{(\sqrt[3]{4} — \sqrt[3]{2} + 1)(\sqrt[3]{2} + 1)}
\)
Упрощаем знаменатель:
\(
\frac{\sqrt[3]{2} + 1}{2 + 1} = \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{3}
\)