ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 253 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \( \frac{1}{\sqrt{2} — 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 — 1} + \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{3 — 2} + \frac{2 — \sqrt{3}}{4 — 3} = 3 + \sqrt{2} — \sqrt{2} + \sqrt{3} — \sqrt{3} = 3 \)

2) \( \frac{12}{5 — \sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} + \frac{1}{\sqrt{17} — 4} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{25 — 13} + \frac{4(\sqrt{17} — \sqrt{13})}{17 — 13} + \frac{\sqrt{17} + 4}{17 — 16} = (5 + \sqrt{13}) + (\sqrt{17} — \sqrt{13}) — (\sqrt{17} + 4) = 1 \)

3) \( \frac{1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13} + 3} + \dots + \frac{1}{5 + \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{5} — 1}{5 — 1} + \frac{3 — \sqrt{5}}{9 — 5} + \frac{\sqrt{13} — 3}{13 — 9} + \dots + \frac{5 — \sqrt{21}}{25 — 21} = -1 + \frac{1}{4} = 1 \)

1. \( \frac{1}{\sqrt{2} — 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \)

Упрощение:
1. Приведем каждый знаменатель к удобному виду:
— Для \( \frac{1}{\sqrt{2} — 1} \): домножим числитель и знаменатель на сопряженное \( \sqrt{2} + 1 \):
\[
\frac{1}{\sqrt{2} — 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 — 1} = \sqrt{2} + 1.
\]
— Для \( \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \): домножим на сопряженное \( \sqrt{3} — \sqrt{2} \):
\[
\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{3 — 2} = \sqrt{3} — \sqrt{2}.
\]
— Для \( \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \): домножим на сопряженное \( 2 — \sqrt{3} \):
\[
\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 — \sqrt{3}}{4 — 3} = 2 — \sqrt{3}.
\]

2. Складываем:
\[
(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{3} — \sqrt{2}) + (2 — \sqrt{3}) = 3.
\]

Ответ: \( 3. \)

2. \( \frac{12}{5 — \sqrt{13}} + \frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} — \frac{1}{\sqrt{17} — 4} \)

Упрощение:
1. Приведем каждый знаменатель к удобному виду:
— Для \( \frac{12}{5 — \sqrt{13}} \): домножим на сопряженное \( 5 + \sqrt{13} \):
\[
\frac{12}{5 — \sqrt{13}} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{25 — 13} = \frac{12(5 + \sqrt{13})}{12} = 5 + \sqrt{13}.
\]
— Для \( \frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} \): домножим на сопряженное \( \sqrt{17} — \sqrt{13} \):
\[
\frac{4}{\sqrt{17} + \sqrt{13}} = \frac{4(\sqrt{17} — \sqrt{13})}{17 — 13} = (\sqrt{17} — \sqrt{13}).
\]
— Для \( -\frac{1}{\sqrt{17} — 4} \): домножим на сопряженное \( \sqrt{17} + 4 \):
\[
-\frac{1}{\sqrt{17} — 4} = -\frac{\sqrt{17} + 4}{17 — 16} = -(\sqrt{17} + 4).
\]

2. Складываем:
\[
(5 + \sqrt{13}) + (\sqrt{17} — \sqrt{13}) — (\sqrt{17} + 4) = 5 — 4 = 1.
\]

Ответ: \( 1. \)

3. \( \frac{1}{\sqrt{5} + 1} + \frac{1}{3 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{13} + 3} + \ldots + \frac{1}{5 + \sqrt{21}} \)

Это выражение представляет собой сумму дробей с радикалами в знаменателях. Давайте упростим каждый член и найдем общий результат.

Упрощение общего члена \( \frac{1}{a + \sqrt{b}} \):
Для каждого члена суммы \( \frac{1}{a + \sqrt{b}} \), домножим числитель и знаменатель на сопряженное \( a — \sqrt{b} \):
\[
\frac{1}{a + \sqrt{b}} = \frac{a — \sqrt{b}}{a^2 — b}.
\]

Разберем сумму:
Выражение состоит из нескольких членов, где \( a \) и \( b \) изменяются следующим образом:
— Первый член: \( \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} — 1}{5 — 1} = \frac{\sqrt{5} — 1}{4}. \)
— Второй член: \( \frac{1}{3 + \sqrt{5}} = \frac{3 — \sqrt{5}}{9 — 5} = \frac{3 — \sqrt{5}}{4}. \)
— Третий член: \( \frac{1}{\sqrt{13} + 3} = \frac{\sqrt{13} — 3}{13 — 9} = \frac{\sqrt{13} — 3}{4}. \)
— И так далее до последнего члена \( \frac{1}{5 + \sqrt{21}} = \frac{5 — \sqrt{21}}{25 — 21} = \frac{5 — \sqrt{21}}{4}. \)

Суммируем все члены:
Сумма всех дробей:
\[
\frac{\sqrt{5} — 1}{4} + \frac{3 — \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13} — 3}{4} + \ldots + \frac{5 — \sqrt{21}}{4}.
\]

Соберем отдельно рациональные и иррациональные части:
— Рациональная часть: \( -1 + 3 — 3 + 5 — \ldots. \)
— Иррациональная часть: \( \sqrt{5} — \sqrt{5} + \sqrt{13} — \ldots. \)

После упрощения и сокращений сумма иррациональных частей сокращается, а рациональная часть дает 1.

Ответ: \( 1. \)