ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 266 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1. \(\sqrt{3x-2} = \sqrt{4x+3}\)
2. \(\sqrt{3x-3} = \sqrt{4x^2-6x-1}\)
3. \(\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x-4} = 2\)
4. \(\sqrt{x+7} = x+5\)
5. \(\sqrt{x^2+2x-12} = \sqrt{3x}\)
6. \(\sqrt{x^2+x-4} = \sqrt{-2x}\)
7. \(\sqrt{x+5} — \sqrt{8-x} = 1\)
8. \(\sqrt{2x-4} — \sqrt{x-1} = 1\)
9. \(\sqrt{3x-6} + \sqrt{x-4} = 4\)
10. \(2\sqrt{x-3} — \sqrt{x+2} = 1\)

1) \(\sqrt(3x — 2) = \sqrt(4x + 3)\);
\(
3x — 2 = 4x + 3, \quad x = -5;
\)
Область определения:
\(
3x — 2 \geq 0, \quad 3x \geq 2, \quad x \geq \frac(2)(3);
\)
Ответ: корней нет.

2) \(\sqrt(3x — 3) = \sqrt(4x^2 — 6x — 1)\);
\(
3x — 3 = 4x^2 — 6x — 1;
\)
\(
4x^2 — 9x + 2 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49, \quad \text(тогда:);
\)
\(
x_1 = \frac(9 — 7)(2 \cdot 4) = 0.25, \quad x_2 = \frac(9 + 7)(2 \cdot 4) = 2;
\)
Область определения:
\(
3x — 3 \geq 0, \quad x \geq 1;
\)
Ответ: \(x = 2\).

3) \(\sqrt(x — 1) \cdot \sqrt(x — 4) = 2\);
\(
x^2 — 4x — x + 4 = 4;
\)
\(
x^2 — 5x = 0;
\)
\(
x \cdot (x — 5) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5;
\)
Область определения:
\(
x — 1 \geq 0, \quad x — 4 \geq 0;
\)
\(
x \geq 1, \quad x \geq 4;
\)
Ответ: \(x = 5\).

4) \(\sqrt(x + 7) = x + 5;\)
\(
x + 7 = x^2 + 10x + 25;
\)
\(
x^2 + 9x + 18 = 0;
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 — 72 = 9, \quad \text(тогда:)
\)
\(
x_1 = \frac(-9 — 3)(2) = -6 \quad \text(и) \quad x_2 = \frac(-9 + 3)(2) = -3;
\)
Область определения:
\(
x + 7 \geq 0, \quad x \geq -7;
\)
\(
x + 5 \geq 0, \quad x \geq -5;
\)
Ответ: \(-3\).

5) \(\sqrt(x^2 + 2x — 12) = \sqrt(3x);\)
\(
x^2 + 2x — 12 = 3x;
\)
\(
x^2 — x — 12 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \quad \text(тогда:)
\)
\(
x_1 = \frac(1 — 7)(2) = -3, \quad x_2 = \frac(1 + 7)(2) = 4;
\)
Область определения:
\(
3x \geq 0, \quad x \geq 0;
\)
Ответ: \(4\).

6) \(\sqrt(x^2 + x — 4) = \sqrt(-2x);\)
\(
x^2 + x — 4 = -2x;
\)
\(
x^2 + 3x — 4 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad \text(тогда:)
\)
\(
x_1 = \frac(-3 — 5)(2) = -4, \quad x_2 = \frac(5 — 3)(2) = 1;
\)
Область определения:
\(
-2x \geq 0, \quad x \leq 0;
\)
Ответ: \(-4\).

7) \(\sqrt{x + 5} — \sqrt{8 — x} = 1;\)
\(
\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{8 — x};
\)
\(
x + 5 = 1 + 2\sqrt{8 — x} + (8 — x);
\)
\(
2\sqrt{8 — x} = 2x — 4, \quad \sqrt{8 — x} = x — 2;
\)
\(
8 — x = x^2 — 4x + 4, \quad x^2 — 3x — 4 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4;
\)
Область определения:
\(
x + 5 \geq 0, \quad x \geq -5;
\)
\(
x — 2 \geq 0, \quad x \geq 2;
\)
\(
8 — x \geq 0, \quad x \leq 8;
\)
Ответ: \(4\).

8) \(\sqrt{2x — 4} — \sqrt{x — 1} = 1;\)
\(
\sqrt{2x — 4} = 1 + \sqrt{x — 1};
\)
\(
2x — 4 = 1 + 2\sqrt{x — 1} + (x — 1);
\)
\(
2\sqrt{x — 1} = x — 4, \quad 4(x — 1) = x^2 — 8x + 16;
\)
\(
4x — 4 = x^2 — 8x + 16, \quad x^2 — 12x + 20 = 0;
\)
\(
D = 12^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{12 — 8}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10;
\)
Область определения:
\(
2x — 4 \geq 0, \quad x \geq 2;
\)
\(
x — 1 \geq 0, \quad x \geq 1;
\)
\(
x — 4 \geq 0, \quad x \geq 4;
\)
Ответ: \(10\).

9) \(\sqrt{3x — 6} + \sqrt{x — 4} = 4;\)
\(
4x — 10 + 2\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 16;
\)
\(
2\sqrt{3x^2 — 12x — 6x + 24} = 26 — 4x;
\)
\(
\sqrt{3x^2 — 18x + 24} = 13 — 2x;
\)
\(
3x^2 — 18x + 24 = 169 — 52x + 4x^2;
\)
\(
x^2 — 34x + 145 = 0;
\)
\(
D = 34^2 — 4 \cdot 145 = 1156 — 580 = 576, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{34 — 24}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{34 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 29;
\)
Область определения:
\(
13 — 2x \geq 0, \quad x \leq 7.5;
\)
\(
3x — 6 \geq 0, \quad x \geq 2;
\)
\(
x — 4 \geq 0, \quad x \geq 4;
\)
Ответ: \(5\).

10) \(2\sqrt{x — 3} — \sqrt{x + 2} = 1;\)
\(
2\sqrt{x — 3} = 1 + \sqrt{x + 2};
\)
\(
4(x — 3) = 3 + 2\sqrt{x + 2} + x;
\)
\(
4x — 12 = x + 3 + 2\sqrt{x + 2};
\)
\(
2\sqrt{x + 2} = 3x — 15;
\)
\(
4(x + 2) = 9x^2 — 90x + 225;
\)
\(
4x + 8 = 9x^2 — 90x + 225, \quad 9x^2 — 94x + 217 = 0;
\)
\(
D = 94^2 — 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 — 7812 = 1024, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{94 — 32}{2 \cdot 9} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}, \quad x_2 = \frac{94 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{126}{18} = 7;
\)
Область определения:
\(
3x — 15 \geq 0, \quad x \geq 5;
\)
\(
x + 2 \geq 0, \quad x \geq -2;
\)
\(
x — 3 \geq 0, \quad x \geq 3;
\)
Ответ: \(7\).

1) \(\sqrt(3x — 2) = \sqrt(4x + 3)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(3x — 2) = \sqrt(4x + 3)
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\(
3x — 2 = 4x + 3
\)
Перенесем все слагаемые, содержащие \(x\), в одну сторону, а свободные члены — в другую:
\(
3x — 4x = 3 + 2 \quad \Rightarrow \quad -x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = -5
\)

Проверим область определения, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
1) \(3x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 3x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac(2)(3)\)
2) \(4x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 4x \geq -3 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac(3)(4)\)

Объединим области определения:
\(
x \geq \frac(2)(3)
\)

Рассмотрим найденный корень \(x = -5\): он не удовлетворяет области определения, так как \(-5 < \frac(2)(3)\).
Ответ: корней нет.

2) \(\sqrt(3x — 3) = \sqrt(4x^2 — 6x — 1)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(3x — 3) = \sqrt(4x^2 — 6x — 1)
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
3x — 3 = 4x^2 — 6x — 1
\)
Перенесем все в одну сторону:
\(
4x^2 — 6x — 1 — 3x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 — 9x + 2 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-(-9) — \sqrt(49)}{2 \cdot 4} = \frac(9 — 7)(8) = \frac(2)(8) = 0.25
\)
\(
x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt(49)}{2 \cdot 4} = \frac(9 + 7)(8) = \frac(16)(8) = 2
\)

Проверим область определения:
1) \(3x — 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1\)
2) \(4x^2 — 6x — 1 \geq 0\) — проверка на области допустимых значений.

Из двух корней только \(x = 2\) удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = 2\).

3) \(\sqrt(x — 1) \cdot \sqrt(x — 4) = 2\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(x — 1) \cdot \sqrt(x — 4) = 2
\)
Перемножим подкоренные выражения:
\(
\sqrt((x — 1)(x — 4)) = 2
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
(x — 1)(x — 4) = 4
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 — 4x — x + 4 = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x = 0
\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(
x(x — 5) = 0
\)
Корни:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5
\)

Проверим область определения:
1) \(x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1\)
2) \(x — 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 4\)

Объединим области:
\(
x \geq 4
\)

Из двух корней только \(x = 5\) удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = 5\).

4) \(\sqrt(x + 7) = x + 5\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(x + 7) = x + 5
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
x + 7 = (x + 5)^2
\)
Раскроем квадрат:
\(
x + 7 = x^2 + 10x + 25
\)
Перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 + 10x + 25 — x — 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 9x + 18 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 — 72 = 9
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-9 — \sqrt(9)}{2} = \frac(-9 — 3)(2) = -6
\)
\(
x_2 = \frac{-9 + \sqrt(9)}{2} = \frac(-9 + 3)(2) = -3
\)

Проверим область определения:
1) \(x + 7 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -7\)
2) \(x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5\)

Корень \(x = -6\) не удовлетворяет области определения, так как \(-6 < -5\).
Ответ: \(x = -3\).

5) \(\sqrt(x^2 + 2x — 12) = \sqrt(3x)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(x^2 + 2x — 12) = \sqrt(3x)
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
x^2 + 2x — 12 = 3x
\)
Перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 + 2x — 12 — 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x — 12 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt(49)}{2 \cdot 1} = \frac(1 — 7)(2) = -3
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt(49)}{2 \cdot 1} = \frac(1 + 7)(2) = 4
\)

Проверим область определения:
1) \(3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0\)

Из двух корней только \(x = 4\) удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = 4\).

6) \(\sqrt(x^2 + x — 4) = \sqrt(-2x)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(x^2 + x — 4) = \sqrt(-2x)
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
x^2 + x — 4 = -2x
\)
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
\(
x^2 + x + 2x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x — 4 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt(25)}{2 \cdot 1} = \frac(-3 — 5)(2) = -4
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + \sqrt(25)}{2 \cdot 1} = \frac(-3 + 5)(2) = 1
\)

Проверим область определения:
1) \(-2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0\)
2) \(x^2 + x — 4 \geq 0\) — проверка на области допустимых значений.

Из двух корней только \(x = -4\) удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = -4\).

7) \(\sqrt(x + 5) — \sqrt(8 — x) = 1\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(x + 5) — \sqrt(8 — x) = 1
\)
Перенесем один из корней в правую часть:
\(
\sqrt(x + 5) = 1 + \sqrt(8 — x)
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
x + 5 = (1 + \sqrt(8 — x))^2
\)
Раскроем квадрат:
\(
x + 5 = 1 + 2\sqrt(8 — x) + (8 — x)
\)
Упростим:
\(
x + 5 = 9 — x + 2\sqrt(8 — x)
\)
Перенесем \(x\) и свободные члены в одну сторону:
\(
2\sqrt(8 — x) = 2x — 4
\)
Упростим:
\(
\sqrt(8 — x) = x — 2
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
8 — x = (x — 2)^2
\)
Раскроем квадрат:
\(
8 — x = x^2 — 4x + 4
\)
Перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 — 3x — 4 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt(25)}{2 \cdot 1} = \frac(3 — 5)(2) = -1
\)
\(
x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt(25)}{2 \cdot 1} = \frac(3 + 5)(2) = 4
\)

Проверим область определения:
1) \(x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5\)
2) \(8 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 8\)

Из двух корней только \(x = 4\) удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = 4\).

8) \(\sqrt(2x — 4) — \sqrt(x — 1) = 1\)

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt(2x — 4) — \sqrt(x — 1) = 1
\)
Перенесем один из корней в правую часть:
\(
\sqrt(2x — 4) = 1 + \sqrt(x — 1)
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
2x — 4 = (1 + \sqrt(x — 1))^2
\)
Раскроем квадрат:
\(
2x — 4 = 1 + 2\sqrt(x — 1) + (x — 1)
\)
Упростим:
\(
2x — 4 = x + 3 + 2\sqrt(x — 1)
\)
Перенесем \(x\) и свободные члены в одну сторону:
\(
2\sqrt(x — 1) = x — 4
\)
Упростим:
\(
\sqrt(x — 1) = \frac(x — 4)(2)
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
x — 1 = \frac((x — 4)^2)(4)
\)
Умножим обе части на 4:
\(
4(x — 1) = (x — 4)^2
\)
Раскроем квадрат:
\(
4x — 4 = x^2 — 8x + 16
\)
Перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 — 12x + 20 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:
\(
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 — 80 = 64
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-(-12) — \sqrt(64)}{2 \cdot 1} = \frac(12 — 8)(2) = 2
\)
\(
x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt(64)}{2 \cdot 1} = \frac(12 + 8)(2) = 10
\)

Проверим область определения:
1) \(2x — 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2\)
2) \(x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1\)

Из двух корней только \(x = 10\) удовлетворяет области определения.
Ответ: \(x = 10\).

9) Уравнение \(\sqrt{3x — 6} + \sqrt{x — 4} = 4\).

Перенесем свободные члены в правую часть и возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\((\sqrt{3x — 6} + \sqrt{x — 4})^2 = 4^2\).

Раскроем скобки:
\((\sqrt{3x — 6})^2 + 2\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} + (\sqrt{x — 4})^2 = 16\).

Упростим:
\(3x — 6 + x — 4 + 2\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 16\).

Объединим подобные члены:
\(4x — 10 + 2\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 16\).

Перенесем \(4x — 10\) в правую часть:
\(2\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 26 — 4x\).

Разделим обе стороны на 2:
\(\sqrt{(3x — 6)(x — 4)} = 13 — 2x\).

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\((\sqrt{(3x — 6)(x — 4)})^2 = (13 — 2x)^2\).

Раскроем скобки:
\((3x — 6)(x — 4) = 169 — 52x + 4x^2\).

Раскроем произведение:
\(3x^2 — 12x — 6x + 24 = 169 — 52x + 4x^2\).

Упростим:
\(3x^2 — 18x + 24 = 169 — 52x + 4x^2\).

Перенесем все члены в одну сторону:
\(4x^2 — 3x^2 + 52x — 18x + 169 — 24 = 0\).

Получим:
\(x^2 — 34x + 145 = 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-34)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 145 = 1156 — 580 = 576\).

Найдем корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-(-34) — \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{34 — 24}{2} = 5\),
\(x_2 = \frac{-(-34) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{34 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 29\).

Область определения:
1) \(13 — 2x \geq 0 — x \leq 7,5\),
2) \(3x — 6 \geq 0 — x \geq 2\),
3) \(x — 4 \geq 0 — x \geq 4\).

С учетом области определения, единственный подходящий корень: \(x = 5\).

Ответ: \(x = 5\).

10) Уравнение \(2\sqrt{x — 3} — \sqrt{x + 2} = 1\).

Перенесем свободные члены в правую часть:
\(2\sqrt{x — 3} = 1 + \sqrt{x + 2}\).

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\((2\sqrt{x — 3})^2 = (1 + \sqrt{x + 2})^2\).

Раскроем скобки:
\(4(x — 3) = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x + 2} + (\sqrt{x + 2})^2\).

Упростим:
\(4x — 12 = 1 + 2\sqrt{x + 2} + x + 2\).

Объединим подобные члены:
\(4x — 12 = x + 3 + 2\sqrt{x + 2}\).

Перенесем \(x + 3\) в левую часть:
\(4x — x — 12 — 3 = 2\sqrt{x + 2}\).

Упростим:
\(3x — 15 = 2\sqrt{x + 2}\).

Разделим обе стороны на 2:
\(\sqrt{x + 2} = \frac{3x — 15}{2}\).

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\((\sqrt{x + 2})^2 = \left(\frac{3x — 15}{2}\right)^2\).

Раскроем скобки:
\(x + 2 = \frac{(3x — 15)^2}{4}\).

Умножим обе стороны на 4:
\(4(x + 2) = (3x — 15)^2\).

Раскроем квадрат:
\(4x + 8 = 9x^2 — 90x + 225\).

Перенесем все члены в одну сторону:
\(9x^2 — 90x — 4x + 225 — 8 = 0\).

Упростим:
\(9x^2 — 94x + 217 = 0\).

Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-94)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 — 7812 = 1024\).

Найдем корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-(-94) — \sqrt{1024}}{2 \cdot 9} = \frac{94 — 32}{18} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}\),
\(x_2 = \frac{-(-94) + \sqrt{1024}}{2 \cdot 9} = \frac{94 + 32}{18} = \frac{126}{18} = 7\).

Область определения:
1) \(3x — 15 \geq 0 — x \geq 5\),
2) \(x + 2 \geq 0 — x \geq -2\),
3) \(x — 3 \geq 0 — x \geq 3\).

С учетом области определения, единственный подходящий корень: \(x = 7\).

Ответ: \(x = 7\).