ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 269 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите целые корни уравнения

\(
v\sqrt{2-x} + (x+3)^{\frac{1}{6}} = 3
\)

\(
\sqrt{2 — x} + \sqrt{x + 3} = 3
\)

1. Область определения:
— Для sqrt{2 — x}: 2 — x >= 0 implies x <= 2
— Для sqrt{x + 3}: x + 3 >= 0 implies x >= -3
Следовательно, область определения: -3 <= x <= 2

2. Возможные корни:
Рассмотрим все целые значения x из области определения: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Подстановка значений:
1) x = -3:
\(
sqrt{2 — (-3)} + sqrt{(-3) + 3} = sqrt{5} + 0 != 3
\)

2) x = -2:
\(
sqrt{2 — (-2)} + sqrt{(-2) + 3} = sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3
\)
Следовательно, x = -2 является корнем уравнения.

3) x = -1:
\(
sqrt{2 — (-1)} + sqrt{(-1) + 3} = sqrt{3} + sqrt{2} != 3
\)

4) x = 0:
\(
sqrt{2 — 0} + sqrt{0 + 3} = sqrt{2} + sqrt{3} != 3
\)

5) x = 1:
\(
sqrt{2 — 1} + sqrt{1 + 3} = 1 + 2 != 3
\)

6) x = 2:
\(
sqrt{2 — 2} + sqrt{2 + 3} = 0 + sqrt{5} != 3
\)

Ответ:
Единственный целый корень уравнения:
\(
x = -2
\)

Рассмотрим уравнение

\(
\sqrt{2 — x} + \sqrt{x + 3} = 3
\)

1. Область определения:
— Для выражения \(\sqrt{2 — x}\) необходимо, чтобы \(2 — x \geq 0\), что приводит к неравенству \(x \leq 2\).
— Для выражения \(\sqrt{x + 3}\) необходимо, чтобы \(x + 3 \geq 0\), что приводит к неравенству \(x \geq -3\).

Следовательно, область определения уравнения:

\(
-3 \leq x \leq 2
\)

2. Возможные корни:
Рассмотрим целые значения \(x\) из области определения: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\).

Подстановка значений:

1) \(x = -3\):
\(
\sqrt{2 — (-3)} + \sqrt{(-3) + 3} = \sqrt{5} + 0 \neq 3
\)

2) \(x = -2\):
\(
\sqrt{2 — (-2)} + \sqrt{(-2) + 3} = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3
\)
Следовательно, \(x = -2\) является корнем уравнения.

3) \(x = -1\):
\(
\sqrt{2 — (-1)} + \sqrt{(-1) + 3} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \neq 3
\)

4) \(x = 0\):
\(
\sqrt{2 — 0} + \sqrt{0 + 3} = \sqrt{2} + \sqrt{3} \neq 3
\)

5) \(x = 1\):
\(
\sqrt{2 — 1} + \sqrt{1 + 3} = 1 + 2 \neq 3
\)

6) \(x = 2\):
\(
\sqrt{2 — 2} + \sqrt{2 + 3} = 0 + \sqrt{5} \neq 3
\)

Таким образом, единственный целый корень уравнения:

\(
x = -2
\)