ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 272 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \( y = v(x^2 + 16) — 9 \)

2) \( y = 4 + |x| \)

3) \( y = v(-x^2) \)

4) \( y = -x^2 + 8x — 16 \)

5) \( y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x \)

6) \( y = \frac{1}{1 + x^2} \)

1) \( y = v(x^2 + 16) — 9 \)
Область значений: \( [-5, +\infty) \).

2) \( y = 4 + |x| \)
Область значений: \( [4, +\infty) \).

3) \( y = v(-x^2) \)
Область значений: \( \{0\} \).

4) \( y = -x^2 + 8x — 16 \)
Область значений: \( (-\infty, 0] \).

5) \( y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x \)
Область значений: \( (-\infty, 3]\).

6) \( y = \frac{1}{1 + x^2} \)
Область значений: \( (0, 1] \).

1) \( y = v(x^2 + 16) — 9 \)

Поскольку \( x^2 + 16 \geq 16 \), то \( v(x^2 + 16) \geq 4 \). Следовательно,
\(
y \geq 4 — 9 = -5.
\)
Область значений: \( y \geq -5 \) или \( [-5, +\infty) \).

2) \( y = 4 + |x| \)

Поскольку \( |x| \geq 0 \), то \( y \geq 4 \).
Область значений: \( y \geq 4 \) или \( [4, +\infty) \).

3) \( y = v(-x^2) \)

Поскольку \( -x^2 \leq 0 \), то \( v(-x^2) = 0 \).
Таким образом, область значений: \( y = 0 \).

4) \( y = -x^2 + 8x — 16 \)

Это парабола, открытая вниз. Чтобы найти максимальное значение, найдем вершину:
\(
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4.
\)
Подставим \( x = 4 \):
\(
y = -(4)^2 + 8(4) — 16 = -16 + 32 — 16 = 0.
\)
Значение при \( x \to \pm\infty \) стремится к \( -\infty \).
Область значений: \( (-\infty, 0] \).

5) \( y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x \)

Это также парабола, открытая вниз. Находим вершину:
\(
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-\frac{1}{3})} = 3.
\)
Подставим \( x = 3 \):
\(
y = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -3 + 6 = 3.
\)
Значение при \( x \to \pm\infty \) стремится к \( -\infty \).
Область значений: \( (-\infty, 3] \).

6) \( y = \frac{1}{1 + x^2} \)

Поскольку \( x^2 \geq 0 \), то \( 1 + x^2 \geq 1 \). Следовательно,
\(
y = \frac{1}{1 + x^2} \leq 1.
\)
При \( x = 0, y = 1\), а при \( |x| \to +\infty, y \to 0 \).
Область значений: \( (0, 1] \).

Итак, области значений функций:

1) \( [-5, +\infty) \)

2) \( [4, +\infty) \)

3) \( {0} \)

4) \( (-\infty, 0] \)

5) \( (-\infty, 3] \)

6) \( (0, 1] \)