Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 272 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область значений функции:
1) \( y = v(x^2 + 16) — 9 \)
2) \( y = 4 + |x| \)
3) \( y = v(-x^2) \)
4) \( y = -x^2 + 8x — 16 \)
5) \( y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x \)
6) \( y = \frac{1}{1 + x^2} \)
1) \( y = v(x^2 + 16) — 9 \)
Область значений: \( [-5, +\infty) \).
2) \( y = 4 + |x| \)
Область значений: \( [4, +\infty) \).
3) \( y = v(-x^2) \)
Область значений: \( \{0\} \).
4) \( y = -x^2 + 8x — 16 \)
Область значений: \( (-\infty, 0] \).
5) \( y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x \)
Область значений: \( (-\infty, \frac{4}{3}] \).
6) \( y = \frac{1}{1 + x^2} \)
Область значений: \( (0, 1] \).
1) \( y = v(x^2 + 16) — 9 \)
Поскольку \( x^2 + 16 \geq 16 \), то \( v(x^2 + 16) \geq 4 \). Следовательно,
\[
y \geq 4 — 9 = -5.
\]
Область значений: \( y \geq -5 \) или \( [-5, +\infty) \).
2) \( y = 4 + |x| \)
Поскольку \( |x| \geq 0 \), то \( y \geq 4 \).
Область значений: \( y \geq 4 \) или \( [4, +\infty) \).
3) \( y = v(-x^2) \)
Поскольку \( -x^2 \leq 0 \), то \( v(-x^2) = 0 \).
Таким образом, область значений: \( y = 0 \).
4) \( y = -x^2 + 8x — 16 \)
Это парабола, открытая вниз. Чтобы найти максимальное значение, найдем вершину:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4.
\]
Подставим \( x = 4 \):
\[
y = -(4)^2 + 8(4) — 16 = -16 + 32 — 16 = 0.
\]
Значение при \( x \to \pm\infty \) стремится к \( -\infty \).
Область значений: \( (-\infty, 0] \).
5) \( y = -\frac{1}{3} x^2 + 2x \)
Это также парабола, открытая вниз. Находим вершину:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-\frac{1}{3})} = 3.
\]
Подставим \( x = 3 \):
\[
y = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -3 + 6 = 3.
\]
Значение при \( x \to \pm\infty \) стремится к \( -\infty \).
Область значений: \( (-\infty, 3] \).
6) \( y = \frac{1}{1 + x^2} \)
Поскольку \( x^2 \geq 0 \), то \( 1 + x^2 \geq 1 \). Следовательно,
\[
y = \frac{1}{1 + x^2} \leq 1.
\]
При \( x = 0, y = 1\), а при \( |x| \to +\infty, y \to 0 \).
Область значений: \( (0, 1] \).
Итак, области значений функций:
1) \( [-5, +\infty) \)
2) \( [4, +\infty) \)
3) \( {0} \)
4) \( (-\infty, 0] \)
5) \( (-\infty, 3] \)
6) \( (0, 1] \)
Повторение курса алгебры
