ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 280 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, не используя производной, что функция:

1) \( f(x) = \frac{6}{2 — x} \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 2) \);

2) \( f(x) = x^2 + 4x \) убывает на промежутке \( (-\infty; -2] \).

1) \( f(x) = \frac{2}{2 — x} \)
При \( x \in (-\infty; 2) \) возрастает:
\( x_1 < x_2 < 2, (-x_1) > (-x_2) > -2; \)
\( 2 — x_1 > 2 — x_2 > 0, f(x_1) < f(x_2); \)
Что и требовалось доказать.

2) \( f(x) = x^2 + 4x; \)
При \( x \in (-\infty; -2] \) убывает:
\( a > 0, x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2; \)
Что и требовалось доказать.

Данная функция:

1) \( f(x) = \frac{2}{2 — x} \)

При \( x \in (-\infty; 2) \) функция возрастает. Пусть \( x_1 < x_2 < 2 \). Тогда:

\(
-x_1 > -x_2 > -2
\)

Следовательно,

\(
2 — x_1 > 2 — x_2 > 0
\)

Так как знаменатель \( 2 — x \) положителен и уменьшается при увеличении \( x \), то значение функции \( f(x) = \frac{2}{2 — x} \) увеличивается. Таким образом,

\(
f(x_1) < f(x_2)
\)

Что и требовалось доказать.

2) \( f(x) = x^2 + 4x \)

При \( x \in (-\infty; -2] \) функция убывает. Найдем вершину параболы, так как коэффициент при \( x^2 \) (\( a = 1 > 0 \)) положителен, то ветви параболы направлены вверх. Координата вершины по \( x \) равна:

\(
x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2
\)

На промежутке \( (-\infty; -2] \), где \( x < -2 \), производная функции отрицательна, то есть функция убывает.

Что и требовалось доказать.