ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 281 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1. \( y = x — 3 \) и \( y = x^2 — 4x + 3 \);
2. \( y = 2x^2 — 3x \) и \( y = -x^2 + x + 7 \);
3. \( y = x^6 \) и \( y = 2x^4 \);
4. \( y = \frac{6}{x} \) и \( y = x + 5 \);
5. \( y = \sqrt{10 — 3x} \) и \( y = -x \);
6. \( y = \sqrt{x + 2} \) и \( y = \sqrt{2x — 3} + 1 \).

Точки пересечения:
1)
\(
\begin{cases}
y = x — 3 \\
y = x^2 — 4x + 3
\end{cases}
\)

Решение:
\(
x — 3 = x^2 — 4x + 3, \quad x^2 — 5x + 6 = 0;
\)

Вычисление дискриминанта:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\)
\(
y_1 = 2 — 3 = -1, \quad y_2 = 3 — 3 = 0;
\)

Ответ: (2; -1); (3; 0).

2)
\(
\begin{cases}
y = 2x^2 — 3x \\
y = -x^2 + x + 7
\end{cases}
\)

Решение:
\(
2x^2 — 3x = -x^2 + x + 7;
\)
\(
3x^2 — 4x — 7 = 0;
\)

Вычисление дискриминанта:
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 + 84 = 100, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{4 — 10}{2 \cdot 3} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3};
\)
\(
y_1 = 2(-1)^2 — 3(-1) = 5, \quad y_2 = 2 \cdot \frac{49}{9} — 7 = \frac{35}{9};
\)

Ответ: (-1; 5); \( \left( \frac{7}{3}; \frac{35}{9} \right) \).

Вот текст без выделений:

—

3)
\( y = 2x^4 \)

Второе уравнение:
\( x^6 = 2x^4 \), \( x_1 = 0 \), \( x_2 = \pm\sqrt{2} \);
\( y_1 = 0 \), \( y_2 = (\pm\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8 \);
Ответ: \( (0; 0); (-\sqrt{2}; 8); (\sqrt{2}; 8) \).

4)
\( y = \frac{6}{x} \), \( y = x + 5 \)

Второе уравнение:
\( \frac{6}{x} = x + 5 \), \( x^2 + 5x — 6 = 0 \);
\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6 \), \( x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \);
\( y_1 = -6 + 5 = -1 \), \( y_2 = 1 + 5 = 6 \);
Ответ: \( (-6; -1); (1; 6) \).

5)
\( y = \sqrt{10 — 3x} \), \( y = -x \)

Второе уравнение:
\( -x = \sqrt{10 — 3x} \), \( x^2 + 3x — 10 = 0 \);
\( D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \), \( x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \);
\( y_1 = -(-5) = 5 \), \( y_2 = -2 \);
Ответ: \( (-5; 5); (2; -2) \).

6)
\( y = \sqrt{x + 2} \), \( y = \sqrt{2x — 3} + 1 \)

Второе уравнение:
\( \sqrt{x + 2} = \sqrt{2x — 3} + 1 \);
\( x + 2 = 2x — 3 + 2\sqrt{2x — 3} + 1 \);
\( 2\sqrt{2x — 3} = 4 — x \), \( 4(2x — 3) = 16 — 8x + x^2 \);
\( 8x — 12 = 16 — 8x + x^2 \), \( x^2 — 16x + 28 = 0 \);
\( D = 16^2 — 4 \cdot 28 = 256 — 112 = 144 \), тогда:
\( x_1 = \frac{16 — 12}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{16 + 12}{2} = 14 \);

\( y_1 = \sqrt{2 + 2} = 2 \), \( y_2 = \sqrt{14 + 2} = 4 \).

Область определения:
\( 2x — 3 \geq 0 \), \( x \geq 1.5 \);
\( x + 2 \geq 0 \), \( x \geq -2 \);
\( \sqrt{4 — x} \geq 0 \), \( x \leq 4 \).

Ответ: \( (2; 2) \).

1. \( y = x — 3 \) и \( y = x^2 — 4x + 3 \)

Приравняем правые части:
\(
x — 3 = x^2 — 4x + 3
\)
Приведем к общему виду:
\(
x^2 — 5x + 6 = 0
\)
Разложим на множители:
\(
(x — 2)(x — 3) = 0
\)
Получаем корни:
\(
x = 2 \quad \text{и} \quad x = 3
\)
Найдем \( y \) для каждого \( x \):
— При \( x = 2 \): \( y = 2 — 3 = -1 \),
— При \( x = 3 \): \( y = 3 — 3 = 0 \).

Ответ: точки пересечения — \( (2, -1) \) и \( (3, 0) \).

2. \( y = 2x^2 — 3x \) и \( y = -x^2 + x + 7 \)

Приравняем правые части:
\(
2x^2 — 3x = -x^2 + x + 7
\)
Приведем к общему виду:
\(
3x^2 — 4x — 7 = 0
\)
Решим квадратное уравнение по формуле:
\(
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-7)}}{2 \cdot 3}
\)
\(
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6}
\)
\(
x = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{6}
\)
\(
x = \frac{4 \pm 10}{6}
\)
Получаем:
\(
x_1 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}, \quad x_2 = \frac{-6}{6} = -1
\)
Найдем \( y \) для каждого \( x \):
— При \( x = \frac{7}{3} \): \( y = 2\left(\frac{7}{3}\right)^2 — 3\left(\frac{7}{3}\right) = \frac{98}{9} — \frac{21}{3} = \frac{98}{9} — \frac{63}{9} = \frac{35}{9} \),
— При \( x = -1 \): \( y = 2(-1)^2 — 3(-1) = 2 + 3 = 5 \).

Ответ: точки пересечения — \( \left(\frac{7}{3}, \frac{35}{9}\right) \) и \( (-1, 5) \).

3. \( y = x^6 \) и \( y = 2x^4 \)

Приравняем правые части:
\(
x^6 = 2x^4
\)
Разделим на \( x^4 \) (при \( x \neq 0 \)):
\(
x^2 = 2
\)
\(
x = \pm \sqrt{2}
\)
Также учтем случай \( x = 0 \), так как деление на \( x^4 \) исключает этот корень.

Найдем \( y \) для каждого \( x \):
— При \( x = \sqrt{2} \): \( y = (\sqrt{2})^6 = 8 \),
— При \( x = -\sqrt{2} \): \( y = (-\sqrt{2})^6 = 8 \),
— При \( x = 0 \): \( y = 0^6 = 0 \).

Ответ: точки пересечения — \( (\sqrt{2}, 8) \), \( (-\sqrt{2}, 8) \), \( (0, 0) \).

4. \( y = \frac{6}{x} \) и \( y = x + 5 \)

Приравняем правые части:
\(
\frac{6}{x} = x + 5
\)
Умножим на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):
\(
6 = x^2 + 5x
\)
Приведем к общему виду:
\(
x^2 + 5x — 6 = 0
\)
Разложим на множители:
\(
(x + 6)(x — 1) = 0
\)
Получаем:
\(
x = -6 \quad \text{и} \quad x = 1
\)
Найдем \( y \) для каждого \( x \):
— При \( x = -6 \): \( y = \frac{6}{-6} = -1 \),
— При \( x = 1 \): \( y = \frac{6}{1} = 6 \).

Ответ: точки пересечения — \( (-6, -1) \) и \( (1, 6) \).

5. \( y = \sqrt{10 — 3x} \) и \( y = -x \)

Приравняем правые части:
\(
\sqrt{10 — 3x} = -x
\)
Возведем в квадрат обе части:
\(
10 — 3x = x^2
\)
Приведем к общему виду:
\(
x^2 + 3x — 10 = 0
\)
Разложим на множители:
\(
(x + 5)(x — 2) = 0
\)
Получаем:
\(
x = -5 \quad \text{и} \quad x = 2
\)
Проверим, удовлетворяют ли корни исходному уравнению:
— При \( x = -5 \): \( y = \sqrt{10 — 3(-5)} = \sqrt{25} = 5 \), а \( y = -(-5) = 5 \), корень подходит.
— При \( x = 2 \): \( y = \sqrt{10 — 3(2)} = \sqrt{4} = 2 \), а \( y = -(2) = -2 \), корень не подходит.

Ответ: точка пересечения — \( (-5, 5) \).

6. \( y = \sqrt{x + 2} \) и \( y = \sqrt{2x — 3} + 1 \)

Приравняем правые части:
\(
\sqrt{x + 2} = \sqrt{2x — 3} + 1
\)
Вычтем 1 из обеих частей:
\(
\sqrt{x + 2} — 1 = \sqrt{2x — 3}
\)
Возведем в квадрат обе части:
\(
(\sqrt{x + 2} — 1)^2 = 2x — 3
\)
Раскроем скобки:
\(
x + 2 — 2\sqrt{x + 2} + 1 = 2x — 3
\)
Приведем к общему виду:
\(
-2\sqrt{x + 2} = x — 6
\)
Разделим на \(-2\):
\(
\sqrt{x + 2} = \frac{6 — x}{2}
\)
Возведем в квадрат обе части:
\(
x + 2 = \frac{(6 — x)^2}{4}
\)
Умножим на 4:
\(
4(x + 2) = (6 — x)^2
\)
Раскроем скобки:
\(
4x + 8 = 36 — 12x + x^2
\)
Приведем к общему виду:
\(
x^2 — 16x + 28 = 0
\)
Решим квадратное уравнение:
\(
x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}
\)
\(
x = \frac{16 \pm \sqrt{256 — 112}}{2}
\)
\(
x = \frac{16 \pm \sqrt{144}}{2}
\)
\(
x = \frac{16 \pm 12}{2}
\)
Получаем:
\(
x_1 = 14, \quad x_2 = 2
\)
Проверим оба корня в исходном уравнении:
— При \( x = 14 \): \( y = \sqrt{14 + 2} = \sqrt{16} = 4 \), \( y = \sqrt{2(14) — 3} + 1 = \sqrt{25} + 1 = 5 \), корень не подходит.
— При \( x = 2 \): \( y = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \), \( y = \sqrt{2(2) — 3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \), корень подходит.

Ответ: точка пересечения — \( (2, 2) \).