ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 304 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Является ли обратимой функция:}
\)

1) \( y = x^{\frac{1}{3}} \)

2) \( y = x^4, \quad x \in [1; +\infty) \)

3) \( y = x^4, \quad x \in [-2; 0] \)

4) \( y = x^4, \quad x \in [-2; +\infty) \)

Функция обратима:

1) \( y = \sqrt[3]{x}, \, x \in \mathbb{R}; \)
\( y'(x) = \left( x^{\frac{1}{3}} \right)’ = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}; \)
\( y'(x) \neq 0; \, \text{Ответ: да.} \)

2) \( y = x^4, \, x \in [1; +\infty); \)
\( y'(x) = \left( x^4 \right)’ = 4x^3 > 0; \, \text{Ответ: да.} \)

3) \( y = x^4, \, x \in [-2; 0]; \)
\( y'(x) = \left( x^4 \right)’ = 4x^3 \leq 0; \, \text{Ответ: да.} \)

4) \( y = x^4, \, x \in [-2; +\infty); \)
\( y'(x) = \left( x^4 \right)’ = 4x^3 \geq -32; \, \text{Ответ: нет.} \)

Функция обратима:

1) Для функции \( y = \sqrt[3]{x}, \, x \in \mathbb{R} \):
Найдём производную:
\(
y'(x) = \left( x^{\frac{1}{3}} \right)’ = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}.
\)
Производная существует для всех \( x \neq 0 \), и, следовательно, функция строго монотонна.
Ответ: да.

2) Для функции \( y = x^4, \, x \in [1; +\infty) \):
Найдём производную:
\(
y'(x) = \left( x^4 \right)’ = 4x^3.
\)
На указанном промежутке \( x \in [1; +\infty) \), производная \( y'(x) > 0 \), что означает строгое возрастание функции.
Ответ: да.

3) Для функции \( y = x^4, \, x \in [-2; 0] \):
Найдём производную:
\(
y'(x) = \left( x^4 \right)’ = 4x^3.
\)
На указанном промежутке \( x \in [-2; 0] \), производная \( y'(x) \leq 0 \), что означает строгое убывание функции.
Ответ: да.

4) Для функции \( y = x^4, \, x \in [-2; +\infty) \):
Найдём производную:
\(
y'(x) = \left( x^4 \right)’ = 4x^3.
\)
На указанном промежутке \( x \in [-2; +\infty) \), производная изменяет знак (она не сохраняет строгое возрастание или убывание). Это означает, что функция не является строго монотонной.
Ответ: нет.