ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 324 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
\(
b_1 = 108, \quad b_4 = 32
\)

2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
\(
b_2 = 6, \quad b_4 = 30
\)

1) \( b_1 = 108, \, b_4 = 32 \)
\( b_4 = b_1 \cdot q^3, \, 108 \cdot q^3 = 32 \)
\( q^3 = \frac{32}{108} = \frac{8}{27} \)
\( q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \)

Ответ: \( q = \frac{2}{3} \)

2) \( b_2 = 6, \, b_4 = 30 \)
\( b_2 = b_1 \cdot q, \, b_4 = b_1 \cdot q^3 \)
\( q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{30}{6} = 5 \)
\( q = \pm\sqrt{5} \)

Ответ: \( q = \pm\sqrt{5} \)

Найти знаменатель:

1) Дано: \( b_1 = 108, \, b_4 = 32 \).
Формула общего члена геометрической прогрессии:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
\)
Подставим \( n = 4 \):
\(
b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3
\)
Подставим известные значения:
\(
32 = 108 \cdot q^3
\)
Найдём \( q^3 \):
\(
q^3 = \frac{32}{108} = \frac{8}{27}
\)
Извлечём кубический корень:
\(
q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}
\)
Ответ:
\(
q = \frac{2}{3}
\)

2) Дано: \( b_2 = 6, \, b_4 = 30 \).
Формула общего члена геометрической прогрессии:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
\)
Для второго члена (\( n = 2 \)):
\(
b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q
\)
Для четвёртого члена (\( n = 4 \)):
\(
b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3
\)
Выразим \( b_1 \) из уравнения для \( b_2 \):
\(
b_1 = \frac{b_2}{q}
\)
Подставим это в уравнение для \( b_4 \):
\(
b_4 = \frac{b_2}{q} \cdot q^3
\)
Упростим:
\(
b_4 = b_2 \cdot q^2
\)
Найдём \( q^2 \):
\(
q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{30}{6} = 5
\)
Извлечём квадратный корень:
\(
q = \pm\sqrt{5}
\)
Ответ:
\(
q = \pm\sqrt{5}
\)