Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 329 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии \( (b_n) \), если \( b_4 = 280 \) и \( q = 5 \).
2) Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии \( (b_n) \), если \( b_1 = v_2 \), \( b_5 = 4v_2 \) и \( q < 0 \).
1) \( b_4 = 280 \), \( q = 5 \), \( n = 4 \);
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3, \quad b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{280}{125} = \frac{56}{25};
\)
\(
S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = \frac{56}{25} \cdot \frac{5^4 — 1}{5 — 1};
\)
\(
S_4 = \frac{56 \cdot 624}{25 \cdot 4} = \frac{14 \cdot 624}{25} = 349 \frac{11}{25};
\)
Ответ: \( 349 \frac{11}{25} \).
2) \( b_1 = \sqrt{2} \), \( b_5 = 4\sqrt{2} \), \( q < 0 \), \( n = 4 \);
\(
b_5 = b_1 \cdot q^4, \quad q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4, \quad q = -\sqrt{2};
\)
\(
S_4 = \frac{b_1 \cdot (q^4 — 1)}{q — 1} = \frac{\sqrt{2} \cdot ((-\sqrt{2})^4 — 1)}{-\sqrt{2} — 1};
\)
\(
S_4 = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{-3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} — 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} — 1)};
\)
\(
S_4 = \frac{-3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} — 1)}{2 — 1} = 3\sqrt{2} — 6;
\)
Ответ: \( 3\sqrt{2} — 6 \).
1) \( b_4 = 280 \), \( q = 5 \), \( n = 4 \)
Дано, что четвёртый член геометрической прогрессии равен \( b_4 = 280 \), знаменатель прогрессии \( q = 5 \), и нужно найти сумму первых четырёх членов прогрессии \( S_4 \).
Для начала найдём первый член прогрессии \( b_1 \). Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
\)
Подставим \( n = 4 \):
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3
\)
Выразим \( b_1 \):
\(
b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{280}{5^3} = \frac{280}{125} = \frac{56}{25}
\)
Теперь используем формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
\(
S_n = b_1 \cdot \frac{q^n — 1}{q — 1}
\)
Подставим \( n = 4 \), \( q = 5 \), и \( b_1 = \frac{56}{25} \):
\(
S_4 = \frac{56}{25} \cdot \frac{5^4 — 1}{5 — 1}
\)
Вычислим \( 5^4 \):
\(
5^4 = 625, \quad 5^4 — 1 = 625 — 1 = 624
\)
Подставим в формулу:
\(
S_4 = \frac{56}{25} \cdot \frac{624}{4}
\)
Выполним упрощение:
\(
\frac{624}{4} = 156, \quad S_4 = \frac{56 \cdot 156}{25}
\)
Теперь умножим числитель:
\(
56 \cdot 156 = 8736, \quad S_4 = \frac{8736}{25}
\)
Разделим \( 8736 \) на \( 25 \) в виде смешанного числа:
\(
8736 \div 25 = 349 \, \text{целых}, \quad остаток = 11
\)
Таким образом:
\(
S_4 = 349 \frac{11}{25}
\)
Ответ: \( 349 \frac{11}{25} \)
2) \( b_1 = \sqrt{2} \), \( b_5 = 4\sqrt{2} \), \( q < 0 \), \( n = 4 \)
Дано, что первый член геометрической прогрессии равен \( b_1 = \sqrt{2} \), пятый член равен \( b_5 = 4\sqrt{2} \), и знаменатель прогрессии \( q < 0 \). Нужно найти сумму первых четырёх членов прогрессии \( S_4 \).
Для начала найдём \( q \). Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
\)
Подставим \( n = 5 \):
\(
b_5 = b_1 \cdot q^4
\)
Выразим \( q^4 \):
\(
q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
\)
Упростим дробь:
\(
q^4 = 4
\)
Так как \( q < 0 \), то \( q = -\sqrt{2} \).
Теперь используем формулу для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:
\(
S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n — 1)}{q — 1}
\)
Подставим \( n = 4 \), \( q = -\sqrt{2} \), и \( b_1 = \sqrt{2} \):
\(
S_4 = \frac{\sqrt{2} \cdot ((-\sqrt{2})^4 — 1)}{-\sqrt{2} — 1}
\)
Вычислим \( (-\sqrt{2})^4 \):
\(
(-\sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = 4, \quad (-\sqrt{2})^4 — 1 = 4 — 1 = 3
\)
Подставим в формулу:
\(
S_4 = \frac{\sqrt{2} \cdot 3}{-\sqrt{2} — 1}
\)
В числителе:
\(
\sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}
\)
В знаменателе:
\(
-\sqrt{2} — 1 = -(\sqrt{2} + 1)
\)
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{2} — 1 \):
\(
S_4 = \frac{3\sqrt{2}}{-\sqrt{2} — 1} \cdot \frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} — 1}
\)
В числителе:
\(
3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} — 1) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} — 3\sqrt{2} \cdot 1 = 6 — 3\sqrt{2}
\)
В знаменателе:
\(
(-\sqrt{2} — 1) \cdot (\sqrt{2} — 1) = -(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} — \sqrt{2} + 1 = -(2 — 1) = -1
\)
Таким образом:
\(
S_4 = \frac{6 — 3\sqrt{2}}{-1} = -6 + 3\sqrt{2}
\)
Или:
\(
S_4 = 3\sqrt{2} — 6
\)
Ответ: \( 3\sqrt{2} — 6 \)