ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 332 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии } (b_n), \text{ если } b_2 = 108, \, b_4 = 48.
\)

1) Первый член и знаменатель:
\(
b_2 = b_1 \cdot q
\)
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3
\)
\(
q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{48}{108} = \frac{4}{9}
\)
\(
q = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm\frac{2}{3}
\)
\(
b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{108}{\frac{2}{3}} = 162
\)
\(
q = \frac{2}{3}
\)

2) Сумма данной прогрессии:
\(
S_1 = b_1 \cdot \left(1 — q^n\right) \cdot \left(1 — q\right)^{-1}
\)
\(
S_1 = 162 \cdot \left(1 — \left(\frac{2}{3}\right)^3\right) \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right)^{-1} = -97,2
\)
\(
S_2 = b_1 \cdot q^{(n-1)} \cdot \left(1 — q\right)^{-1}
\)
\(
S_2 = 162 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right)^{-1} = 486
\)

Ответ:
\(
-97,2; \, 486.
\)

Дана прогрессия: \(b_2 = 108, b_4 = 48\);

1) Определение первого члена и знаменателя прогрессии:
— Для геометрической прогрессии справедливо соотношение:
\(
b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)},
\)
где \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель прогрессии.

— Из данных \(b_2 = 108\) и \(b_4 = 48\) можно найти \(q\):
\(
b_2 = b_1 \cdot q,
\)
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3.
\)
Разделив второе уравнение на первое, получим:
\(
q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{48}{108} = \frac{4}{9}.
\)
Отсюда:
\(
q = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm\frac{2}{3}.
\)

— Подставляя \(q = \frac{2}{3}\) в первое уравнение, найдем \(b_1\):
\(
b_2 = b_1 \cdot \frac{2}{3},
\)
\(
b_1 = \frac{b_2}{\frac{2}{3}} = \frac{108}{\frac{2}{3}} = 162.
\)

Итак, первый член прогрессии \(b_1 = 162\), знаменатель прогрессии \(q = \frac{2}{3}\).

2) Вычисление суммы прогрессии:
Для сходящейся геометрической прогрессии сумма членов вычисляется по формуле:
\(
S_{\infty} = \frac{b_1}{1 — q}.
\)

Подставим значения \(b_1 = 162\) и \(q = \frac{2}{3}\):
\(
S_{\infty} = \frac{162}{1 — \frac{2}{3}} = \frac{162}{\frac{1}{3}} = 162 \cdot 3 = 486.
\)

Ответ:
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:
\(
S_{\infty} = 486.
\)