ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 332 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии } (b_n), \text{ если } b_2 = 108,
\)
\(
\, b_4 = 48.
\)

1) Первый член и знаменатель:
\(
b_2 = b_1 \cdot q
\)
\(
b_4 = b_1 \cdot q^3
\)
\(
q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{48}{108} = \frac{4}{9}
\)
\(
q = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm\frac{2}{3}
\)
\(
b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{108}{\frac{2}{3}} = 162
\)
\(
q = \frac{2}{3}
\)

2) Сумма данной прогрессии:
\(
S_1 = b_1 \cdot \left(1 — q^n\right) \cdot \left(1 — q\right)^{-1}
\)
\(
S_1 = 162 \cdot \left(1 — \left(\frac{2}{3}\right)^3\right) \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right)^{-1} = -97,2
\)
\(
S_2 = b_1 \cdot q^{(n-1)} \cdot \left(1 — q\right)^{-1}
\)
\(
S_2 = 162 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(1 — \frac{2}{3}\right)^{-1} = 486
\)

Ответ:
\(
-97,2; \, 486.
\)

Дана прогрессия: \( b_2 = 108 \), \( b_4 = 48 \).

1. Первый член и знаменатель

Формулы для членов прогрессии:
\(
b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_4 = b_1 \cdot q^3
\)

Выразим \( q^2 \):
\(
q^2 = \frac{b_4}{b_2} = \frac{48}{108} = \frac{4}{9}
\)

Найдём \( q \):
\(
q = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}
\)

Найдём первый член прогрессии (\( b_1 \)):
\(
b_1 = \frac{b_2}{q} = \pm \frac{108}{\frac{2}{3}} = \pm 162
\)

2. Сумма прогрессии

Сумма первых трёх членов (\( S_1 \)) при \( q = -\frac{2}{3} \):
Формула:
\(
S_1 = \frac{b_1}{1 + q}
\)

Подставим значения \( b_1 = -162 \), \( q = -\frac{2}{3} \):
\(
S_1 = \frac{-162}{1 + \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-162}{\frac{3}{3} — \frac{2}{3}} = \frac{-162}{\frac{1}{3}}
\)

Упростим:
\(
S_1 = -162 \cdot 3 = -97.2
\)

Сумма первых трёх членов (\( S_2 \)) при \( q = \frac{2}{3} \):
Формула:
\(
S_2 = \frac{b_1}{1 — q}
\)

Подставим значения \( b_1 = 162 \), \( q = \frac{2}{3} \):
\(
S_2 = \frac{162}{1 — \frac{2}{3}} = \frac{162}{\frac{3}{3} — \frac{2}{3}} = \frac{162}{\frac{1}{3}}
\)

Упростим:
\(
S_2 = 162 \cdot 3 = 486
\)

Ответ:
\(
S_1 = -97.2, \quad S_2 = 486
\)