Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 334 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) возможно равенство?
1) \(\cos(x) = a — 2\)
2) \(\sin(x) = 2a — a^2 — 2\)
Верно равенство:
1) \( \cos x = a — 2 \); \( a — 2 \in [-1; 1] \), \( a \in [1; 3] \); Ответ: \([1; 3]\).
2) \( \sin x = 2a — a^2 — 2 \); Первое неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 \geq -1 \); \( a^2 — 2a + 1 \leq 0 \);
\( (a — 1)^2 \leq 0, a = 1 \);
Второе неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 < 1 \);
\( a^2 — 2a + 3 \geq 0 \); \( D = 2^2 — 4 \cdot 3 = -8 \);
\( D < 0 \), значит \( x \in R \); Ответ: \( a = 1 \).
Верно равенство:
1) \( \cos(x) = a — 2 \).
Из условия \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\), получаем:
\[
-1 \leq a — 2 \leq 1.
\]
Решим двойное неравенство:
\[
-1 + 2 \leq a \leq 1 + 2,
\]
\[
1 \leq a \leq 3.
\]
Ответ для первого уравнения: \( a \in [1; 3] \).
2) \( \sin(x) = 2a — a^2 — 2 \).
Для функции синуса выполняется условие \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\). Разделим это на два неравенства и решим их по отдельности.
Первое неравенство:
\[
2a — a^2 — 2 \geq -1.
\]
Переносим все в одну сторону:
\[
-a^2 + 2a — 2 + 1 \geq 0,
\]
\[
-a^2 + 2a — 1 \geq 0.
\]
Умножим на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется):
\[
a^2 — 2a + 1 \leq 0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен:
\[
(a — 1)^2 \leq 0.
\]
Решение этого неравенства:
\[
a — 1 = 0, \quad a = 1.
\]
Второе неравенство:
\[
2a — a^2 — 2 < 1.
\]
Переносим всё в одну сторону:
\[
-a^2 + 2a — 2 — 1 < 0,
\]
\[
-a^2 + 2a — 3 < 0.
\]
Умножим на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется):
\[
a^2 — 2a + 3 > 0.
\]
Дискриминант квадратного трёхчлена:
\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8.
\]
Так как \( D < 0 \), то квадратный трёхчлен \( a^2 — 2a + 3 > 0 \) выполняется для всех \( a \in \mathbb{R} \).
Объединяя результаты двух неравенств, получаем, что \( a = 1 \).
Итоговый ответ: \( a = 1 \).
Повторение курса алгебры
