ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 334 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) возможно равенство?

1) \(\cos(x) = a — 2\)

2) \(\sin(x) = 2a — a^2 — 2\)

Верно равенство:
1) \( \cos x = a — 2 \); \( a — 2 \in [-1; 1] \), \( a \in [1; 3] \); Ответ: \([1; 3]\).
2) \( \sin x = 2a — a^2 — 2 \); Первое неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 \geq -1 \); \( a^2 — 2a + 1 \leq 0 \);
\( (a — 1)^2 \leq 0, a = 1 \);
Второе неравенство:
\( 2a — a^2 — 2 < 1 \);
\( a^2 — 2a + 3 \geq 0 \); \( D = 2^2 — 4 \cdot 3 = -8 \);
\( D < 0 \), значит \( x \in R \); Ответ: \( a = 1 \).

Верно равенство:

1) \( \cos(x) = a — 2 \).
Из условия \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\), получаем:
\(
-1 \leq a — 2 \leq 1.
\)

Решим двойное неравенство:
\(
-1 + 2 \leq a \leq 1 + 2,
\)
\(
1 \leq a \leq 3.
\)

Ответ для первого уравнения: \( a \in (1; 3) \).

2) \( \sin(x) = 2a — a^2 — 2 \).
Для функции синуса выполняется условие \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\). Разделим это на два неравенства и решим их по отдельности.

Первое неравенство:
\(
2a — a^2 — 2 \geq -1.
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
-a^2 + 2a — 2 + 1 \geq 0,
\)
\(
-a^2 + 2a — 1 \geq 0.
\)
Умножим на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется):
\(
a^2 — 2a + 1 \leq 0.
\)

Разложим квадратный трёхчлен:
\(
(a — 1)^2 \leq 0.
\)

Решение этого неравенства:
\(
a — 1 = 0, \quad a = 1.
\)

Второе неравенство:
\(
2a — a^2 — 2 < 1.
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
-a^2 + 2a — 2 — 1 < 0,
\)
\(
-a^2 + 2a — 3 < 0.
\)
Умножим на \(-1\) (при этом знак неравенства меняется):
\(
a^2 — 2a + 3 > 0.
\)

Дискриминант квадратного трёхчлена:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8.
\)

Так как \( D < 0 \), то квадратный трёхчлен \( a^2 — 2a + 3 > 0 \) выполняется для всех \( a \in \mathbb{R} \).

Объединяя результаты двух неравенств, получаем, что \( a = 1 \).

Итоговый ответ: \( a = 1 \).