ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 340 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значения тригонометрических функций аргумента } a, \text{ если:}
\)

1) \(\cos(a) = -\frac{2}{7} \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi;\)

2) \(\tan(a) = -\sqrt{2} \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi.\)

1) \( \cos a = -\frac{2}{7}, \frac{\pi}{2} < a < \pi \);
\(
\sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7};
\)
\(
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{7}}{-\frac{2}{7}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2};
\)
\(
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{-2}{3\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{15};
\)

2) \( \tan a = -\sqrt{2}, \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \);
\(
\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2}} = \frac{\sqrt{3}}{3};
\)
\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{6}}{3};
\)
\(
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2};
\)

Значения функций:

1) \( \cos a = -\frac{2}{7}, \frac{\pi}{2} < a < \pi \)

В данном случае угол \( a \) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Для нахождения синуса используем основное тригонометрическое тождество:
\(
\sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a}
\)
Подставляем значение косинуса:
\(
\sin a = \sqrt{1 — \left(-\frac{2}{7}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49} — \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{45}{49}} = \frac{3\sqrt{5}}{7}
\)

Для нахождения тангенса используем определение:
\(
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}
\)
Подставляем значения синуса и косинуса:
\(
\tan a = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{7}}{-\frac{2}{7}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}
\)

Для нахождения котангенса используем определение:
\(
\cot a = \frac{1}{\tan a}
\)
Подставляем значение тангенса:
\(
\cot a = \frac{1}{-\frac{3\sqrt{5}}{2}} = \frac{-2}{3\sqrt{5}}
\)
Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\(
\cot a = \frac{-2\sqrt{5}}{15}
\)

2) \( \tan a = -\sqrt{2}, \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \)

В данном случае угол \( a \) находится в четвертой четверти, где синус отрицателен, косинус положителен, а тангенс отрицателен.

Для нахождения косинуса используем формулу:
\(
\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}}
\)
Подставляем значение тангенса:
\(
\cos a = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\sqrt{2}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\)

Для нахождения синуса используем определение тангенса:
\(
\sin a = \tan a \cdot \cos a
\)
Подставляем значения тангенса и косинуса:
\(
\sin a = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{6}}{3}
\)

Для нахождения котангенса используем определение:
\(
\cot a = \frac{1}{\tan a}
\)
Подставляем значение тангенса:
\(
\cot a = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\)

Таким образом, все значения функций найдены.