ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 341 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражения:}
\)
1) \(\frac{\cot(x) — \sin(x)}{1 — \cos(x)}\)

2) \(\frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} + \frac{1 — \cos(x)}{\sin(x)}\)

3) \((\sin(a))^4 — (\sin(a))^2 + (\cos(a))^2\)

4) \(\frac{\tan(a)}{\tan(a) + \cot(a)}\)

1)
\(
\text{ctg } x — \frac{\sin x}{1 — \cos x} = \frac{\cos x (1 — \cos x) — \sin x}{\sin x \cdot (1 — \cos x)} = \frac{\cos x — \cos^2 x — \sin^2 x}{\sin x (1 — \cos x)} = \frac{\cos x — 1}{\sin x (1 — \cos x)} =
\)
\(
= -\frac{1}{\sin x};
\)

2)
\(
\frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} + \frac{1 — \cos \varphi}{\sin \varphi} = \frac{(\sin \varphi)^2 + (1 — \cos^2 \varphi)}{\sin \varphi \cdot (1 + \cos \varphi)} = \frac{\sin^2 \varphi + \sin^2 \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)} = \frac{2 \sin \varphi}{1 + \cos \varphi} = \frac{4 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}}{2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}} =
\)
\(
= 2 \tan \frac{\varphi}{2};
\)

3)
\(
\sin^4 a — \sin^2 a + \cos^2 a = \sin^2 a (\sin^2 a — 1) + \cos^2 a =
\)
\(
= \sin^2 a (-\cos^2 a) + \cos^2 a = \cos^2 a (1 — \sin^2 a) = \cos^4 a;
\)

4)
\(
\frac{\tan a + \text{ctg } a}{\tan^2 a + 1} = \frac{\tan^2 a}{\tan^2 a + 1} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{\cos^2 a} = \sin^2 a;
\)

1)
\(
\text{ctg } x — \frac{\sin x}{1 — \cos x}
\)

Решение:
\(
\text{ctg } x — \frac{\sin x}{1 — \cos x} = \frac{\cos x (1 — \cos x) — \sin x}{\sin x \cdot (1 — \cos x)}
\)

Раскрываем скобки в числителе:
\(
\frac{\cos x — \cos^2 x — \sin^2 x}{\sin x (1 — \cos x)}
\)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
\(
\frac{\cos x — 1}{\sin x (1 — \cos x)}
\)

Сокращаем на \( (1 — \cos x) \):
\(
-\frac{1}{\sin x}
\)

Ответ:
\(
-\frac{1}{\sin x}
\)

2)
\(
\frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} + \frac{1 — \cos \varphi}{\sin \varphi}
\)

Решение:
Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{(\sin \varphi)^2 + (1 — \cos^2 \varphi)}{\sin \varphi \cdot (1 + \cos \varphi)}
\)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1 \):
\(
\frac{\sin^2 \varphi + \sin^2 \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}
\)

Складываем числитель:
\(
\frac{2 \sin^2 \varphi}{\sin \varphi (1 + \cos \varphi)}
\)

Сокращаем на \( \sin \varphi \):
\(
\frac{2 \sin \varphi}{1 + \cos \varphi}
\)

Используем формулы двойного угла:
\(
\frac{4 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}}{2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}}
\)

Сокращаем:
\(
2 \tan \frac{\varphi}{2}
\)

Ответ:
\(
2 \tan \frac{\varphi}{2}
\)

3)
\(
\sin^4 a — \sin^2 a + \cos^2 a
\)

Решение:
Выносим \( \sin^2 a \) за скобки в первых двух слагаемых:
\(
\sin^2 a (\sin^2 a — 1) + \cos^2 a
\)

Упрощаем выражение в скобках:
\(
\sin^2 a (-\cos^2 a) + \cos^2 a
\)

Выносим \( \cos^2 a \) за скобки:
\(
\cos^2 a (1 — \sin^2 a)
\)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):
\(
\cos^4 a
\)

Ответ:
\(
\cos^4 a
\)

4)
\(
\frac{\tan a + \text{ctg } a}{\tan^2 a + 1}
\)

Решение:
Используем тождество \( \tan^2 a + 1 = \frac{1}{\cos^2 a} \):
\(
\frac{\tan^2 a + 1}{\tan^2 a + 1} = \frac{\tan^2 a}{\tan^2 a + 1}
\)

Выражаем \( \tan^2 a \) через \( \sin a \) и \( \cos a \):
\(
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \cdot \frac{1}{\cos^2 a}
\)

Сокращаем:
\(
\sin^2 a
\)

Ответ:
\(
\sin^2 a
\)