ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 341 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражения:}
\)
1) \(\frac{\cot(x) — \sin(x)}{1 — \cos(x)}\)

2) \(\frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} + \frac{1 — \cos(x)}{\sin(x)}\)

3) \((\sin(a))^4 — (\sin(a))^2 + (\cos(a))^2\)

4) \(\frac{\tan(a)}{\tan(a) + \cot(a)}\)

Упростить выражение:

1)
\(
\frac{\cot(x) — (1 — \cos(x) \cdot \sin(x))}{\cos(x) \cdot (1 — \cos(x)) — \sin(x)}
\)
\(
\frac{\cos(x) — (\cos^2(x) + \sin^2(x))}{\sin(x) \cdot (1 — \cos(x))}
\)
\(
\sin(\phi)
\)

2)
\(
\frac{1 + \cos(\phi) + 1 — \cos(\phi)}{\sin(\phi)}
\)
\(
\frac{\sin(x) \cdot (1 — \cos(x))}{\sin(x) \cdot (1 — \cos(x)) \cdot \cos(x) — 1}
\)
\(
\sin(x)
\)
\(
(\sin(\phi))^2 + (1 — \cos^2(\phi))
\)
\(
\frac{\sin(\phi) \cdot (1 + \cos(\phi))}{\sin^2(\phi) + \sin^2(\phi)}
\)
\(
2 \sin(\phi)
\)
\(
\frac{\sin(\phi) \cdot (1 + \cos(\phi))}{1 + \cos(\phi)}
\)
\(
2 \cos^2(\phi) + 4 \sin(\phi) \cdot \cos(2) = 2 + 9
\)

3)
\(
\sin^4(a) — \sin^2(a) + \cos^2(a) = \sin^2(a) \cdot (\sin^2(a) — 1) + \cos^2(a)
\)
\(
= \sin^2(a) \cdot (-\cos^2(a)) + \cos^2(a) = \cos^2(a) \cdot (1 — \sin^2(a)) = \cos^4(a)
\)

4)
\(
\frac{\cot(a)}{\tan(a) + \cot(a)}
\)
\(
\tan^2(a)
\)
\(
= \frac{\sin^2(a)}{\tan^2(a) + 1}
\)
\(
\cos^2(a)
\)

1)

Упростим первое выражение:
\(
\frac{\cot(x) — (1 — \cos(x) \cdot \sin(x))}{\cos(x) \cdot (1 — \cos(x)) — \sin(x)}
\)

Напомним, что \(\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\). Подставим это в выражение:
\[
\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)} — (1 — \cos(x) \cdot \sin(x))}{\cos(x) \cdot (1 — \cos(x)) — \sin(x)}
\]

Приведём числитель к общему знаменателю:
\[
\frac{\frac{\cos(x) — \sin(x) + \cos(x) \cdot (\sin^2(x))}{\sin(x)}}{\cos(x) \cdot (1 — \cos(x)) — \sin(x)}
\]

Дальнейшее упрощение зависит от цели задачи, но выражение можно оставить в таком виде.

Рассмотрим второе выражение:
\(
\frac{\cos(x) — (\cos^2(x) + \sin^2(x))}{\sin(x) \cdot (1 — \cos(x))}
\)

Используем основное тригонометрическое тождество:
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).

Тогда числитель становится:
\[
\cos(x) — 1
\]

Подставим это в выражение:
\[
\frac{\cos(x) — 1}{\sin(x) \cdot (1 — \cos(x))}
\]

Заметим, что \((1 — \cos(x)) = -(1 — \cos(x))\), поэтому итоговое выражение равно:
\[
-1
\]

Последнее выражение:
\(
\sin(\phi)
\)

Оно уже упрощено.

2)

Рассмотрим первое выражение:
\(
\frac{1 + \cos(\phi) + 1 — \cos(\phi)}{\sin(\phi)}
\)

В числителе \(1 + \cos(\phi) + 1 — \cos(\phi)\) упрощается до \(2\). Тогда выражение становится:
\[
\frac{2}{\sin(\phi)}
\]

Рассмотрим второе выражение:
\(
\frac{\sin(x) \cdot (1 — \cos(x))}{\sin(x) \cdot (1 — \cos(x)) \cdot \cos(x) — 1}
\)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе, если это возможно. Выражение преобразуется в зависимости от значения \(x\).

Следующее выражение:
\(
(\sin(\phi))^2 + (1 — \cos^2(\phi))
\)

Используем основное тригонометрическое тождество:
\(1 — \cos^2(\phi) = \sin^2(\phi)\). Тогда выражение становится:
\[
(\sin(\phi))^2 + (\sin(\phi))^2 = 2 (\sin(\phi))^2
\]

Следующее выражение:
\(
\frac{\sin(\phi) \cdot (1 + \cos(\phi))}{\sin^2(\phi) + \sin^2(\phi)}
\)

В знаменателе \(2 (\sin^2(\phi))\). Тогда выражение становится:
\[
\frac{\sin(\phi) \cdot (1 + \cos(\phi))}{2 (\sin^2(\phi))}
\]

Следующее выражение:
\(
2 \sin(\phi)
\)

Оно уже упрощено.

Следующее выражение:
\(
\frac{\sin(\phi) \cdot (1 + \cos(\phi))}{1 + \cos(\phi)}
\)

Сократим \(1 + \cos(\phi)\):
\[
\sin(\phi)
\]

Следующее выражение:
\(
2 \cos^2(\phi) + 4 \sin(\phi) \cdot \cos(2) = 2 + 9
\)

Дальнейшее упрощение зависит от значения угла.

3)

Рассмотрим выражение:
\(
\sin^4(a) — \sin^2(a) + \cos^2(a)
\)

Вынесем общий множитель в первых двух слагаемых:
\[
= \sin^2(a) (\sin^2(a) — 1) + \cos^2(a)
\]

Заменим \(1 — \sin^2(a)\) на \(\cos^2(a)\):
\[
= \sin^2(a) (-\cos^2(a)) + \cos^2(a)
\]

Вынесем общий множитель \(\cos^2(a)\):
\[
= \cos^2(a) (1 — \sin^2(a))
\]

Заменим \(1 — \sin^2(a)\) на \(\cos^2(a)\):
\[
= \cos^4(a)
\]

4)

Рассмотрим выражение:
\(
\frac{\cot(a)}{\tan(a) + \cot(a)}
\)

Напомним, что \(\cot(a) = \frac{1}{\tan(a)}\). Подставим это в выражение:
\[
\frac{\frac{1}{\tan(a)}}{\tan(a) + \frac{1}{\tan(a)}}
\]

Приведём знаменатель к общему знаменателю:
\[
= \frac{\frac{1}{\tan(a)}}{\frac{\tan^2(a) + 1}{\tan(a)}}
\]

Сократим общий множитель:
\[
= \frac{1}{\tan^2(a) + 1}
\]

Напомним, что \(1 + \tan^2(a) = \frac{1}{\cos^2(a)}\). Тогда выражение становится:
\[
= \cos^2(a)
\]