ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 343 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Упростите выражение:
\(
\sqrt{1 — (\cos(\frac{a}{2}))^2} — \sqrt{1 — (\sin(\frac{a}{2}))^2, \quad \text{если } \pi < a < 2\pi}
\)

2) Упростите выражение:
\(
\sqrt{\frac{1 + \sin(a)}{1 — \sin(a)}} + \sqrt{\frac{1 — \sin(a)}{1 + \sin(a)}}, \quad \text{если } 180^\circ < a < 270^\circ
\)

1) Упростить выражение:
\(
\sqrt{1 — \cos^2\left(\frac{a}{2}\right)} — \sqrt{1 — \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)} = \sin^2(a) — \cos^2(a) = 2 = |\sin| |\cos(a)| — 2 = \sin\left(\frac{a}{2}\right) + \cos\left(\frac{a}{2}\right), \quad \text{где } \pi < a < 2\pi;
\)

2) Упростить выражение:
\(
\sqrt{\frac{1 + \sin(a)}{1 — \sin(a)}} + \sqrt{\frac{1 — \sin(a)}{1 + \sin(a)}} = \frac{\left(1 + \sin(a)\right)^2}{1 — \sin^2(a)} + \frac{\left(1 — \sin(a)\right)^2}{1 — \sin^2(a)} = \cos^2(a) \left(\frac{1 + \sin(a)}{1 — \sin(a)}\right)^2 + \left(\frac{1 — \sin(a)}{1 + \sin(a)}\right)^2 + |\cos(a)| |\cos(a)| = 1 + \sin(a) + 1 — \sin(a) — \cos(a) + \cos(a) \cos(a), \quad \text{где } 180^\circ < a < 270^\circ.
\)

1) Упростить выражение:
\(
\sqrt{1 — \cos^2\left(\frac{a}{2}\right)} — \sqrt{1 — \sin^2\left(\frac{a}{2}\right)}, \quad \text{где } \pi < a < 2\pi.
\)

Используем тригонометрическое тождество:
\(
1 — \cos^2(x) = \sin^2(x), \quad 1 — \sin^2(x) = \cos^2(x).
\)

Тогда выражение принимает вид:
\(
\sqrt{\sin^2\left(\frac{a}{2}\right)} — \sqrt{\cos^2\left(\frac{a}{2}\right)}.
\)

Поскольку подкоренное выражение является квадратом, извлечение корня даёт:
\(
|\sin\left(\frac{a}{2}\right)| — |\cos\left(\frac{a}{2}\right)|.
\)

Учитывая, что \(\pi < a < 2\pi\), то \(\frac{a}{2}\) лежит в интервале \(\frac{\pi}{2} < \frac{a}{2} < \pi\), где \(\sin\left(\frac{a}{2}\right) > 0\) и \(\cos\left(\frac{a}{2}\right) < 0\). Следовательно:
\(
|\sin\left(\frac{a}{2}\right)| = \sin\left(\frac{a}{2}\right), \quad |\cos\left(\frac{a}{2}\right)| = -\cos\left(\frac{a}{2}\right).
\)

Таким образом, выражение становится:
\(
\sin\left(\frac{a}{2}\right) + \cos\left(\frac{a}{2}\right).
\)

2) Упростить выражение:
\(
\sqrt{\frac{1 + \sin(a)}{1 — \sin(a)}} + \sqrt{\frac{1 — \sin(a)}{1 + \sin(a)}}, \quad \text{где } 180^\circ < a < 270^\circ.
\)

Рассмотрим каждую часть отдельно. Используем тригонометрическое тождество:
\(
1 — \sin^2(a) = \cos^2(a).
\)

Тогда первое слагаемое преобразуется следующим образом:
\(
\sqrt{\frac{1 + \sin(a)}{1 — \sin(a)}} = \sqrt{\frac{\left(1 + \sin(a)\right)^2}{\cos^2(a)}} = \frac{1 + \sin(a)}{|\cos(a)|}.
\)

Аналогично второе слагаемое:
\(
\sqrt{\frac{1 — \sin(a)}{1 + \sin(a)}} = \sqrt{\frac{\left(1 — \sin(a)\right)^2}{\cos^2(a)}} = \frac{1 — \sin(a)}{|\cos(a)|}.
\)

Сложим оба выражения:
\(
\frac{1 + \sin(a)}{|\cos(a)|} + \frac{1 — \sin(a)}{|\cos(a)|}.
\)

Общий знаменатель:
\(
\frac{\left(1 + \sin(a)\right) + \left(1 — \sin(a)\right)}{|\cos(a)|} = \frac{2}{|\cos(a)|}.
\)

Учитывая, что \(180^\circ < a < 270^\circ\), то \(a\) находится во второй четверти, где \(\cos(a) < 0\). Следовательно:
\(
|\cos(a)| = -\cos(a).
\)

И окончательный результат:
\(
-\frac{2}{\cos(a)}.
\)