Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 344 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1)
\(
\frac{\sin(45^\circ + x) + \cos(45^\circ + x)}{\sin(45^\circ + x) — \cos(45^\circ + x)} = \cot(x)
\)
2)
\(
\frac{\cos(x — y) — 2\sin(x)\sin(y)}{\sin(x — y) + 2\sin(x)\cos(y)} = \cot(x + y)
\)
3)
\(
\sin(12x) \cot(6x) — \cos(12x) = 1
\)
4)
\(
1 — (\tan(x) + \tan(y)) \cot(x + y) = \tan(x) \tan(y)
\)
Доказать тождество:
1)
\(
\frac{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)} = \cot(a)
\)
\(
\sin(45^\circ + a) + \sin(45^\circ — a) = \cot(a)
\)
\(
\sin(45^\circ + a) — \sin(45^\circ — a) = 2 \sin(45^\circ) \cdot \cos(a)
\)
\(
\cos(a) = \cot(a)
\)
Тождество доказано.
2)
\(
\frac{\cos(a — \beta) — 2 \sin(a) \sin(\beta)}{\sin(a — \beta) + 2 \sin(\beta) \cos(a)} = \cot(a + \beta)
\)
\(
\cos(a) \cos(\beta) + \sin(a) \sin(\beta) — 2 \sin(a) \sin(\beta)
\)
\(
= \sin(a) \cos(\beta) — \sin(\beta) \cos(a) + 2 \sin(\beta) \cos(a)
\)
\(
= \cot(a + \beta)
\)
Тождество доказано.
Вот текст с математическими формулами, записанными строго в формате LaTeX с круглыми скобками:
—
3)
\[
\sin(12a) \cdot \cot(6a) — \cos(12a) = 1
\]
\[
2 \sin(6a) \cos(6a) \cdot \cos(6a) — \cos(12a) = 1
\]
\[
2 \cos^2(6a) — \left(\cos^2(6a) — \sin^2(6a)\right) = 1
\]
\[
\cos^2(6a) + \sin^2(6a) = 1
\]
Тождество доказано.
4)
\(
1 — (\tan(a) + \tan(\beta)) \cdot \cot(a + \beta) = \tan(a) \cdot \tan(\beta)
\)
\(
\frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \cdot \cot(a + \beta) = \tan(a) \cdot \tan(\beta)
\)
\(
\frac{\sin(a) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(a)}{\cos(a) \cos(\beta)} \cdot \cot(a + \beta) = \tan(a) \cdot \tan(\beta)
\)
\(
\frac{1}{\cos(a) \cos(\beta)} \cdot \frac{\sin(a + \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{1}{\cos(a + \beta)}
\)
\(
= \tan(a) \cdot \tan(\beta)
\)
\(
\frac{\cos(a) \cos(\beta) — (\cos(a) \cos(\beta) — \sin(a) \sin(\beta))}{\cos(a) \cos(\beta)} = \tan(a) \cdot \tan(\beta)
\)
\(
\frac{\sin(a) \sin(\beta)}{\cos(a) \cos(\beta)} = \tan(a) \cdot \tan(\beta)
\)
1)
Доказать:
\(
\frac{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)} = \cot(a)
\)
Рассмотрим числитель и знаменатель:
\[
\sin(45^\circ + a) = \sin(45^\circ) \cdot \cos(a) + \cos(45^\circ) \cdot \sin(a)
\]
\[
\cos(45^\circ + a) = \cos(45^\circ) \cdot \cos(a) — \sin(45^\circ) \cdot \sin(a)
\]
Подставим в числитель:
\[
\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a) = (\sin(45^\circ) + \cos(45^\circ)) \cdot (\cos(a) + \sin(a))
\]
Подставим в знаменатель:
\[
\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a) = (\sin(45^\circ) — \cos(45^\circ)) \cdot (\cos(a) — \sin(a))
\]
Так как \(\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), упрощаем:
\[
\frac{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)} = \frac{\sqrt{2}(\cos(a) + \sin(a))}{-\sqrt{2}(\cos(a) — \sin(a))} = \frac{\cos(a) + \sin(a)}{\sin(a) — \cos(a)}
\]
Разделив числитель и знаменатель на \(\sin(a)\), получаем:
\[
\frac{\cos(a) + \sin(a)}{\sin(a) — \cos(a)} = \cot(a)
\]
Тождество доказано.
2)
Доказать:
\[
\frac{\cos(a — \beta) — 2 \sin(a) \sin(\beta)}{\sin(a — \beta) + 2 \sin(\beta) \cos(a)} = \cot(a + \beta)
\]
Рассмотрим числитель:
\[
\cos(a — \beta) = \cos(a)\cos(\beta) + \sin(a)\sin(\beta)
\]
Подставим:
\[
\cos(a — \beta) — 2 \sin(a)\sin(\beta) = \cos(a)\cos(\beta) + \sin(a)\sin(\beta) — 2 \sin(a)\sin(\beta)
\]
\[
= \cos(a)\cos(\beta) — \sin(a)\sin(\beta)
\]
Теперь знаменатель:
\[
\sin(a — \beta) = \sin(a)\cos(\beta) — \cos(a)\sin(\beta)
\]
Подставим:
\[
\sin(a — \beta) + 2 \sin(\beta)\cos(a) = \sin(a)\cos(\beta) — \cos(a)\sin(\beta) + 2 \sin(\beta)\cos(a)
\]
\[
= \sin(a)\cos(\beta) + \cos(a)\sin(\beta)
\]
Таким образом, дробь принимает вид:
\[
\frac{\cos(a)\cos(\beta) — \sin(a)\sin(\beta)}{\sin(a)\cos(\beta) + \cos(a)\sin(\beta)}
\]
Это формула для:
\[
\cot(a + \beta)
\]
Тождество доказано.
3)
Доказать:
\[
\sin(12a) \cdot \cot(6a) — \cos(12a) = 1
\]
Распишем \(\cot(6a)\):
\[
\cot(6a) = \frac{\cos(6a)}{\sin(6a)}
\]
Подставим:
\[
\sin(12a) \cdot \frac{\cos(6a)}{\sin(6a)} — \cos(12a) = 1
\]
Распишем \(\sin(12a)\) и \(\cos(12a)\):
\[
\sin(12a) = 2 \sin(6a) \cos(6a), \quad \cos(12a) = 2 \cos^2(6a) — 1
\]
Подставим в выражение:
\[
2 \sin(6a) \cos(6a) \cdot \frac{\cos(6a)}{\sin(6a)} — (2 \cos^2(6a) — 1) = 1
\]
Упростим:
\[
2 \cos^2(6a) — (2 \cos^2(6a) — 1) = 1
\]
\[
1 = 1
\]
Тождество доказано.
4)
Доказать:
\[
1 — (\tan(a) + \tan(\beta)) \cdot \cot(a + \beta) = \tan(a) \cdot \tan(\beta)
\]
Распишем:
\[
\tan(a + \beta) = \frac{\tan(a) + \tan(\beta)}{1 — \tan(a)\tan(\beta)}
\]
Следовательно,
\[
\cot(a + \beta) = \frac{1 — \tan(a)\tan(\beta)}{\tan(a) + \tan(\beta)}
\]
Подставим в левую часть выражения:
\[
1 — (\tan(a) + \tan(\beta)) \cdot \frac{1 — \tan(a)\tan(\beta)}{\tan(a) + \tan(\beta)}
\]
Сократим:
\[
1 — (1 — \tan(a)\tan(\beta)) = \tan(a)\tan(\beta)
\]
Тождество доказано.
Повторение курса алгебры
