ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 346 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражение:}
\)

1) \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) — \sin(\pi + a) + \tan(2\pi — a) + \cot\left(\frac{3\pi}{2} — a\right);\)

2) \(\sin\left(a + \frac{\pi}{2}\right) \cos(\pi — a) + \cos\left(a + \frac{3\pi}{2}\right) \sin(2\pi — a);\)

3) \(\frac{\sin(180^\circ — a) \cos(180^\circ + a) \tan(180^\circ — a)}{\sin(270^\circ — a) \cot(270^\circ + a) \cos(90^\circ + a)};\)

4) \(\left(\tan\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) \sin(2\pi — a) + \sin(3\pi — a)\right)^2 — 2\frac{\cos(\pi — a)^2}{\cot(a — \pi)}.\)

\(
\text{Упростить выражение:}
\)

1) \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) — \sin\left(\pi + a\right) + \tan\left(2\pi — a\right) + \cot\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) =\)
\(= — \sin(a) — (- \sin(a)) — \tan(a) — \tan(a) = — \sin(a) + \sin(a) = 0;\)

2) \(\sin\left(a + \frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos\left(\pi — a\right) + \cos\left(a + \frac{3\pi}{2}\right) \cdot \sin\left(2\pi — a\right) = \)
\(= \cos(a) \cdot (- \cos(a)) + \sin(a) \cdot (- \sin(a)) = \cos^2(a) — \sin^2(a) = -1;\)

3)
\(
\frac{\sin\left(180^\circ — a\right) \cdot \cos\left(180^\circ + a\right) \cdot \tan\left(180^\circ — a\right)}{\sin\left(270^\circ — a\right) \cdot \cot\left(270^\circ + a\right) \cdot \cos\left(90^\circ + a\right)} =
\frac{\sin(a) \cdot (- \cos(a)) \cdot (- \tan(a))}{\cos(a) \cdot (- \tan(a)) \cdot (- \sin(a))} =
-\frac{\sin^2(a)}{\sin^2(a)} = -1;
\)

4)
\(
\frac{\left(\tan\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) \cdot \sin\left(2\pi — a\right) + \sin\left(3\pi — a\right)\right)^2 — 2 \cos^2(\pi — a)}{\cot(a — \pi)} =
\)
\(
= (- \cot(a) \cdot (- \sin(a)) + \sin(a))^2 — 2 \cos(a — \pi) \cdot \sin(a — \pi) =
\)
\(
= (\cos(a) + \sin(a))^3 — 2 \cos(a) \cdot \sin(a) = 1.
\)

1)
\(
\cos\frac{\pi}{2} + a — \sin\pi + a + \tan2\pi — a + \cot\frac{3\pi}{2} — a.
\)

Используем тригонометрические преобразования:
\(
\cos\frac{\pi}{2} + a = -\sin a, \quad \sin\pi + a = -\sin a,
\)
\(
\tan2\pi — a = -\tan a, \quad \cot\frac{3\pi}{2} — a = -\tan a.
\)

Подставляем:
\(
-\sin a — (-\sin a) — \tan a — \tan a.
\)

Упрощаем:
\(
-\sin a + \sin a — \tan a — \tan a = 0.
\)

Ответ:
\(
0.
\)

2)
\(
\sin a + \frac{\pi}{2} \cdot \cos\pi — a + \cos a + \frac{3\pi}{2} \cdot \sin2\pi — a.
\)

Используем тригонометрические преобразования:
\(
\sin a + \frac{\pi}{2} = \cos a, \quad \cos\pi — a = -\cos a,
\)
\(
\cos a + \frac{3\pi}{2} = -\sin a, \quad \sin2\pi — a = -\sin a.
\)

Подставляем:
\(
\cos a \cdot (-\cos a) + (-\sin a) \cdot (-\sin a).
\)

Упрощаем:
\(
-\cos^2 a + \sin^2 a.
\)

Используем основное тригонометрическое тождество:
\(
-\cos^2 a + \sin^2 a = -1.
\)

Ответ:
\(
-1.
\)

3)
\(
\frac{\sin(180^\circ — a) \cdot \cos(180^\circ + a) \cdot \tan(180^\circ — a)}{\sin(270^\circ — a) \cdot \cot(270^\circ + a) \cdot \cos(90^\circ + a)}.
\)

Используем тригонометрические преобразования:
\(
\sin(180^\circ — a) = \sin a, \quad \cos(180^\circ + a) = -\cos a, \quad \tan(180^\circ — a) = -\tan a,
\)
\(
\sin(270^\circ — a) = -\cos a, \quad \cot(270^\circ + a) = -\tan a, \quad \cos(90^\circ + a) = -\sin a.
\)

Подставляем:
\(
\frac{\sin a \cdot (-\cos a) \cdot (-\tan a)}{-\cos a \cdot (-\tan a) \cdot (-\sin a)}.
\)

Упрощаем:
\(
= \frac{-\sin a \cdot \cos a \cdot \tan a}{-\cos a \cdot \tan a \cdot \sin a} = 1.
\)

Ответ:
\(
1.
\)

4) Используем тригонометрические преобразования:
\(\tan\left(\frac{5\pi}{2} + a\right) = \cot a, \quad \sin(2\pi — a) = -\sin a,\)
\(\sin(3\pi — a) = -\sin a, \quad \cos(\pi — a) = -\cos a,\)
\(\cot(a — \pi) = -\cot a.\)

Подставляем:
\(
\frac{\left(-\cot a \cdot (-\sin a) + (-\sin a)\right)^2 — 2(-\cos^2 a)}{-\cot a}.
\)

Упрощаем:
\(
\frac{\left(\cos a + \sin a\right)^2 — 2\cos^2 a}{-\cot a}.
\)

Упрощаем числитель:
\(
\left(\cos a + \sin a\right)^2 — 2\cos^2 a =
\)
\(
= \cos^2 a + 2\cos a \sin a + \sin^2 a — 2\cos^2 a = 1 — \cos^2 a + 2\cos a \sin a =
\)
\(
= \sin^2 a + 2\cos a \sin a.
\)

Теперь выражение становится:
\(
\frac{\sin^2 a + 2\cos a \sin a}{-\cot a}.
\)

Разделим на \(-\cot a = -\frac{\cos a}{\sin a}\):
\(
-\frac{\sin^2 a + 2\cos a \sin a}{\frac{\cos a}{\sin a}} = -\frac{\sin^2 a + 2\cos a \sin a}{\cos a} \cdot \sin a = -\sin a — 2\sin a = 1.
\)

Ответ:
\(
1.
\)