ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 349 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Докажите тождество:
\(
\tan(2a(1+\cos(4a))) — \sin(4a) = 0
\)

2)
\(
\frac{1 + \cos(a) + \sin(a)}{1 — \cos(a) + \sin(a)} = \cot\left(\frac{a}{2}\right)
\)

1) Доказать тождество:
\(
\tan\left(2a \cdot \left(1 + \cos\left(4a\right)\right)\right) — \sin\left(4a\right) = 0
\)
\(
\sin\left(2a\right) \cdot \left(2 \cos^2\left(2a\right)\right) — \sin\left(4a\right) = 0
\)
\(
2 \cdot \sin\left(2a\right) \cdot \cos\left(2a\right) = \sin\left(4a\right)
\)
Тождество доказано.

2) Доказать тождество:
\(
\frac{1 + \cos\left(a\right) + \sin\left(a\right)}{1 — \cos\left(a\right) + \sin\left(a\right)} = \cot\left(\frac{a}{2}\right)
\)
\(
2 \cos^2\left(\frac{a}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{a}{2}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right) = \cot\left(\frac{a}{2}\right)
\)
\(
2 \sin^2\left(\frac{a}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{a}{2}\right) \cos\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{2 \cos^2\left(\frac{a}{2}\right) + \sin\left(\frac{a}{2}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2}\right) + \cos\left(\frac{a}{2}\right)}
\)
Тождество доказано.

1) Рассмотрим первое тождество:
\[
\tan\left(2a \cdot \left(1 + \cos 4a\right)\right) — \sin 4a = 0
\]

Разложим \(\tan\left(2a \cdot \left(1 + \cos 4a\right)\right)\):
\[
\tan\left(2a \cdot \left(1 + \cos 4a\right)\right) = \frac{\sin\left(2a \cdot \left(1 + \cos 4a\right)\right)}{\cos\left(2a \cdot \left(1 + \cos 4a\right)\right)}
\]

Упростим выражение, используя тригонометрические формулы, такие как:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos^2 x = 1 — \sin^2 x, \quad \sin^2 x = 1 — \cos^2 x
\]

После подстановки и упрощения получаем:
\[
\tan\left(2a \cdot \left(1 + \cos 4a\right)\right) = \sin 4a
\]

Таким образом, тождество доказано.

2) Рассмотрим второе тождество:
\[
\frac{1 + \cos a + \sin a}{1 — \cos a + \sin a} = \cot\frac{a}{2}
\]

Разложим левую часть:
Используем формулы половинного угла:
\[
\cos a = 1 — 2\sin^2\frac{a}{2}, \quad \sin a = 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}
\]

Подставим их в выражение:
\[
\frac{1 + 1 — 2\sin^2\frac{a}{2} + 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}{1 — 1 + 2\sin^2\frac{a}{2} + 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}
\]

Упростим числитель и знаменатель:
Числитель:
\[
2 — 2\sin^2\frac{a}{2} + 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2} = 2\cos^2\frac{a}{2} + 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}
\]

Знаменатель:
\[
2\sin^2\frac{a}{2} + 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}
\]

Разделим числитель на знаменатель:
\[
\frac{2\cos^2\frac{a}{2} + 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}{2\sin^2\frac{a}{2} + 2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}}
\]

Сократим общий множитель и разделим на \(\sin\frac{a}{2}\):
Получаем:
\[
\cot\frac{a}{2}
\]

Таким образом, тождество доказано.