ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 350 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(
\cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}.
\)

\(
\cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}
\)

\(
8 \sin(20^\circ) \cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ)
\)

\(
\frac{1}{8} \sin(20^\circ)
\)

\(
8
\)

\(
4 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ)
\)

\(
8 \sin(180^\circ — 160^\circ) = 2 \sin(80^\circ) \cos(80^\circ)
\)

\(
\frac{1}{8}
\)

\(
\frac{1}{8} \sin(160^\circ)
\)

Тождество доказано.

Доказательство тождества:

\(
\cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}
\)

умножим обе части на \(8 \sin(20^\circ)\):

\(
8 \sin(20^\circ) \cos(20^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ) = \sin(20^\circ)
\)

распишем левую часть, используя формулу удвоенного угла \(2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)\):

\(
8 \cdot \frac{1}{2} \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ) = \sin(20^\circ)
\)

упрощаем:

\(
4 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) \cos(80^\circ)
\)

применяем формулу \(2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)\) ещё раз для \(\sin(40^\circ) \cos(40^\circ)\):

\(
4 \cdot \frac{1}{2} \sin(80^\circ) \cos(80^\circ)
\)

упрощаем:

\(
2 \sin(80^\circ) \cos(80^\circ)
\)

снова применяем формулу \(2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)\):

\(
\sin(160^\circ)
\)

так как \(\sin(180^\circ — x) = \sin(x)\), то:

\(
\sin(160^\circ) = \sin(20^\circ)
\)

следовательно, исходное тождество доказано.