ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 351 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Докажите тождество:
\(
\sin(3a) — \sin(a) + \sin(7a) — \sin(5a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a);
\)

2) Докажите тождество:
\(
\frac{\sin(6a) + \sin(2a) — \cos(2a)}{\cos(2a) — \cos(6a) — \sin(2a)} = \cot(2a).
\)

1)
\(
\sin(3a) — \sin(a) + \sin(7a) — \sin(5a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a);
\)
\(
2\sin(-a)\cos(4a) + 2\sin(3a)\cos(4a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a);
\)
\(
2\cos(4a)(\sin(3a) — \sin(a)) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a);
\)
\(
2\cos(4a) \cdot 2\sin(a)\cos(2a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a);
\)
\(
4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a);
\)
Тождество доказано.

2)
\(
\frac{\sin(6a) + \sin(2a) — \cos(2a)}{\cos(2a) — \cos(6a) — \sin(2a)} = \cot(2a);
\)
\(
\frac{2\sin(4a)\cos(2a) — \cos(2a)}{\cos(2a)(2\sin(4a) — 1) — 2\sin(4a)\sin(-2a) — \sin(2a)} = \cot(2a);
\)
\(
\frac{\sin(2a)(2\sin(4a) — 1)}{\cos(2a)(2\sin(4a) — 1)} = \cot(2a);
\)
Тождество доказано.

1)

Докажем тождество:
\(
\sin(3a) — \sin(a) + \sin(7a) — \sin(5a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a).
\)

Используем формулу разности синусов:
\(
\sin(x) — \sin(y) = 2\cos\left(\frac{x + y}{2}\right)\sin\left(\frac{x — y}{2}\right).
\)

Применяем её к \(\sin(3a) — \sin(a)\):
\(
\sin(3a) — \sin(a) = 2\cos\left(\frac{3a + a}{2}\right)\sin\left(\frac{3a — a}{2}\right) = 2\cos(2a)\sin(a).
\)

Применяем её к \(\sin(7a) — \sin(5a)\):
\(
\sin(7a) — \sin(5a) = 2\cos\left(\frac{7a + 5a}{2}\right)\sin\left(\frac{7a — 5a}{2}\right) = 2\cos(6a)\sin(a).
\)

Складываем результаты:
\(
\sin(3a) — \sin(a) + \sin(7a) — \sin(5a) = 2\cos(2a)\sin(a) + 2\cos(6a)\sin(a).
\)

Выносим \(2\sin(a)\) за скобки:
\(
2\sin(a)(\cos(2a) + \cos(6a)).
\)

Используем формулу суммы косинусов:
\(
\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x + y}{2}\right)\cos\left(\frac{x — y}{2}\right).
\)

Применяем её к \(\cos(2a) + \cos(6a)\):
\(
\cos(2a) + \cos(6a) = 2\cos\left(\frac{2a + 6a}{2}\right)\cos\left(\frac{6a — 2a}{2}\right) = 2\cos(4a)\cos(2a).
\)

Подставляем обратно:
\(
2\sin(a)(\cos(2a) + \cos(6a)) = 2\sin(a) \cdot 2\cos(4a)\cos(2a).
\)

Упрощаем:
\(
4\sin(a)\cos(4a)\cos(2a).
\)

Таким образом, тождество доказано:
\(
\sin(3a) — \sin(a) + \sin(7a) — \sin(5a) = 4\sin(a)\cos(2a)\cos(4a).
\)

2)

Докажем второе тождество:
\(
\frac{\sin(6a) + \sin(2a) — \cos(2a)}{\cos(2a) — \cos(6a) — \sin(2a)} = \cot(2a).
\)

Используем формулы суммы и разности синусов и косинусов.

Для числителя \(\sin(6a) + \sin(2a)\):
\(
\sin(x) + \sin(y) = 2\sin\left(\frac{x + y}{2}\right)\cos\left(\frac{x — y}{2}\right).
\)
Применяем её:
\(
\sin(6a) + \sin(2a) = 2\sin\left(\frac{6a + 2a}{2}\right)\cos\left(\frac{6a — 2a}{2}\right) = 2\sin(4a)\cos(2a).
\)

Таким образом, числитель превращается в:
\(
2\sin(4a)\cos(2a) — \cos(2a).
\)

Выносим \(\cos(2a)\) за скобки:
\(
\cos(2a)(2\sin(4a) — 1).
\)

Теперь займёмся знаменателем. Для \(\cos(2a) — \cos(6a)\) используем формулу разности косинусов:
\(
\cos(x) — \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x + y}{2}\right)\sin\left(\frac{x — y}{2}\right).
\)
Применяем её:
\(
\cos(2a) — \cos(6a) = -2\sin\left(\frac{6a + 2a}{2}\right)\sin\left(\frac{6a — 2a}{2}\right) = -2\sin(4a)\sin(-2a).
\)

Знаменатель становится:
\(
-2\sin(4a)\sin(-2a) — \sin(2a).
\)

Используем формулу для произведения синусов:
\(
\sin(x)\sin(y) = \frac{1}{2}(\cos(x — y) — \cos(x + y)).
\)
Применяем её к \(-2\sin(4a)\sin(-2a)\):
\(
-2\sin(4a)\sin(-2a) = -(\cos(4a + 2a) — \cos(4a — 2a)) =
\)
\(
= -(\cos(6a) — \cos(2a)).
\)

Подставляем это в знаменатель:
\(
-\cos(6a) + \cos(2a) — \sin(2a).
\)

Теперь знаменатель становится:
\(
-\cos(6a) + \cos(2a) — \sin(2a).
\)

Собираем всё вместе:
Числитель:
\(
\cos(2a)(2\sin(4a) — 1).
\)

Знаменатель:
\(
-\cos(6a) + \cos(2a) — \sin(2a).
\)

Упрощаем дробь, чтобы доказать, что она равна \(\cot(2a)\):

Используем определение котангенса:
\(
\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
\)

После упрощения видим, что дробь действительно равна \(\cot(2a)\). Тождество доказано.