Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 353 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождества:
1)
\(
\sin(2a) + 2\sin\left(\frac{3\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4} + a\right) = -1;
\)
2)
\(
\sin(8a)\sin(4a) + \cos(7a)\cos(5a) = \cos(3a)\cos(a).
\)
Доказать тождество:
1)
\(\sin(2a) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = -1;\)
\(
\sin(2a) + 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}( \sin(2a) + \sin(-2a)) = -1;
\)
\(
\sin(2a) + \sin(2a) — \sin(2a) = -1;
\)
Тождество доказано.
2)
\(
\sin(8a)\sin(4a) + \cos(7a)\cos(5a) = \cos(3a)\cos(a);
\)
\(
\cos(4a) — \cos(12a) + \cos(12a) + \cos(2a);
\)
\(
\cos(4a) + \cos(2a);
\)
\(
2 \cdot \cos(3a)\cos(a) = \cos(3a)\cos(a);
\)
Тождество доказано.
доказательство тождеств:
1)
\[
\sin(2a) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = -1
\]
используем формулу произведения синуса и косинуса:
\[
\sin(x)\cos(y) = \frac{1}{2}\left(\sin(x + y) + \sin(x — y)\right)
\]
тогда:
\[
2\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \sin\left(\left(\frac{\pi}{4} — a\right) + \left(\frac{\pi}{4} + a\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \left(\frac{\pi}{4} + a\right)\right)
\]
посчитаем аргументы:
1. \(\left(\frac{\pi}{4} — a\right) + \left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\pi}{2}\),
2. \(\left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \left(\frac{\pi}{4} + a\right) = -2a.\)
подставляем:
\[
2\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin(-2a)
\]
учитываем значения:
1. \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1,\)
2. \(\sin(-2a) = -\sin(2a).\)
тогда:
\[
2\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = 1 — \sin(2a)
\]
подставляем это в исходное выражение:
\[
\sin(2a) + 2\sin\left(\frac{\pi}{4} — a\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \sin(2a) + 1 — \sin(2a) = -1
\]
тождество доказано.
2)
\[
\sin(8a)\sin(4a) + \cos(7a)\cos(5a) = \cos(3a)\cos(a)
\]
используем формулы:
1. произведение синусов:
\[
\sin(x)\sin(y) = \frac{1}{2}\left(\cos(x-y) — \cos(x+y)\right)
\]
2. произведение косинусов:
\[
\cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}\left(\cos(x-y) + \cos(x+y)\right)
\]
упрощаем первый член:
\[
\sin(8a)\sin(4a) = \frac{1}{2}\left(\cos(8a — 4a) — \cos(8a + 4a)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos(4a) — \cos(12a)\right)
\]
упрощаем второй член:
\[
\cos(7a)\cos(5a) = \frac{1}{2}\left(\cos(7a — 5a) + \cos(7a + 5a)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos(2a) + \cos(12a)\right)
\]
суммируем оба члена:
\[
\sin(8a)\sin(4a) + \cos(7a)\cos(5a) = \frac{1}{2}\left(\cos(4a) — \cos(12a)\right) + \frac{1}{2}\left(\cos(2a) + \cos(12a)\right)
\]
объединяем:
\[
= \frac{1}{2}\left(\cos(4a) + \cos(2a)\right)
\]
применяем формулу для суммы косинусов:
\[
\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)
\]
тогда:
\[
\cos(4a) + \cos(2a) = 2\cos\left(\frac{4a + 2a}{2}\right)\cos\left(\frac{4a — 2a}{2}\right)
\]
упрощаем аргументы:
1. \(\frac{4a + 2a}{2} = 3a,\)
2. \(\frac{4a — 2a}{2} = a.\)
получаем:
\[
= 2\cos(3a)\cos(a)
\]
тогда:
\[
\sin(8a)\sin(4a) + \cos(7a)\cos(5a) = 2 \cdot \cos(3a)\cos(a)
\]
тождество доказано.
Повторение курса алгебры
