ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 356 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите область значений функции:}
\)
1) \( y = 2 \arcsin(x) — \frac{\pi}{4} \);
2) \( y = 5 — 3 \arctan\left(\frac{x}{2}\right). \)

Найти область значений:

1) \( y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \);

Множество значений:
\(-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}\);
\(-\pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi\);
\(-\frac{5\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}\);

Ответ:
\( E(y) = \big[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\big] \).

2) \( y = 5 — 3 \arctan \frac{x}{2} \);

Множество значений:
\(-\frac{\pi}{2} < \arctan \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}\);
\(-\frac{3\pi}{2} < -3 \arctan \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}\);
\( 5 — \frac{3\pi}{2} < 5 — 3 \arctan \frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2}\);

Ответ:
\( E(y) = \big(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\big) \).

Найти область значений:

1) \(y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4}\);

Для нахождения области значений функции необходимо учитывать свойства функции \(\arcsin x\).

Множество значений функции \(\arcsin x\):
\(-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}\).

Умножим обе части неравенства на 2 (так как множитель положительный, знак неравенства сохраняется):
\(-\pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi\).

Теперь вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из всех частей неравенства:
\(-\pi — \frac{\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \pi — \frac{\pi}{4}\).

Приведём к общему знаменателю:
\(-\frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}\),
\(\frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\).

Итак, область значений функции:
\(-\frac{5\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}\).

Ответ:
\(E(y) = \big[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\big]\).

2) \(y = 5 — 3 \arctan\frac{x}{2}\);

Для нахождения области значений функции необходимо учитывать свойства функции \(\arctan\).

Множество значений функции \(\arctan\):
\(-\frac{\pi}{2} < \arctan\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}\).

Умножим обе части неравенства на \(-3\) (так как множитель отрицательный, знаки неравенства меняются на противоположные):
\(-3 \cdot -\frac{\pi}{2} > -3 \arctan \frac{x}{2} > -3 \cdot \frac{\pi}{2}\).

Выполним умножение:
\(\frac{3\pi}{2} > -3 \arctan\frac{x}{2} > -\frac{3\pi}{2}\).

Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства:
\(5 + \frac{3\pi}{2} > 5 — 3 \arctan\frac{x}{2} > 5 — \frac{3\pi}{2}\).

Запишем результат, переставив неравенство в стандартном порядке:
\(5 — \frac{3\pi}{2} < 5 — 3 \arctan\frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2}\).

Итак, область значений функции:
\(E(y) = \big(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\big)\).