Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 356 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Найдите область значений функции:}
\)
1) \( y = 2 \arcsin(x) — \frac{\pi}{4} \);
2) \( y = 5 — 3 \arctan\left(\frac{x}{2}\right). \)
Найти область значений:
1) \( y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \);
Множество значений:
\( -\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2} \)
\( y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \)
Ответ: \( E(y) = (-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}) \).
2) \( y = 5 — 3 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \);
Множество значений:
\( -\frac{\pi}{2} \leq \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \leq \frac{\pi}{2} \).
Ответ: \( E(y) = \left(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\right) \).
1) Рассмотрим функцию \( y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \).
Область определения функции \(\arcsin x\) — это \( x \in [-1; 1] \). Значения функции \(\arcsin x\) лежат в пределах \( \arcsin x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \).
Теперь умножим обе части неравенства на 2:
\(
2 \arcsin x \in \left(-\pi; \pi\right).
\)
Затем вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей:
\(
y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \in \left(-\pi — \frac{\pi}{4}; \pi — \frac{\pi}{4}\right).
\)
После упрощения:
\(
y \in \left(-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right).
\)
Таким образом, область значений функции:
\(
E(y) = (-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}).
\)
2) Рассмотрим функцию \( y = 5 — 3 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \).
Область определения функции \(\arctan z\) — это все действительные числа \( z \in (-\infty; +\infty) \). Значения функции \(\arctan z\) лежат в пределах \( \arctan z \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \).
Подставим \( z = \frac{x}{2} \). Тогда:
\(
\arctan\left(\frac{x}{2}\right) \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right).
\)
Умножим обе части неравенства на -3 (учитывая, что знак неравенства меняется):
\(
-3 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \in \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right).
\)
Теперь прибавим 5 к обеим частям:
\(
y = 5 — 3 \arctan\left(\frac{x}{2}\right) \in \left(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\right).
\)
Таким образом, область значений функции:
\(
E(y) = (5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}).
\)
Повторение курса алгебры
