Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 356 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Найдите область значений функции:}
\)
1) \( y = 2 \arcsin(x) — \frac{\pi}{4} \);
2) \( y = 5 — 3 \arctan\left(\frac{x}{2}\right). \)
Найти область значений:
1) \( y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \);
Множество значений:
\(-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}\);
\(-\pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi\);
\(-\frac{5\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}\);
Ответ:
\( E(y) = \big[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\big] \).
2) \( y = 5 — 3 \arctan \frac{x}{2} \);
Множество значений:
\(-\frac{\pi}{2} < \arctan \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}\);
\(-\frac{3\pi}{2} < -3 \arctan \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}\);
\( 5 — \frac{3\pi}{2} < 5 — 3 \arctan \frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2}\);
Ответ:
\( E(y) = \big(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\big) \).
Найти область значений:
1) \(y = 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4}\);
Для нахождения области значений функции необходимо учитывать свойства функции \(\arcsin x\).
Множество значений функции \(\arcsin x\):
\(-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}\).
Умножим обе части неравенства на 2 (так как множитель положительный, знак неравенства сохраняется):
\(-\pi \leq 2 \arcsin x \leq \pi\).
Теперь вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из всех частей неравенства:
\(-\pi — \frac{\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \pi — \frac{\pi}{4}\).
Приведём к общему знаменателю:
\(-\frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}\),
\(\frac{4\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\).
Итак, область значений функции:
\(-\frac{5\pi}{4} \leq 2 \arcsin x — \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}\).
Ответ:
\(E(y) = \big[-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\big]\).
2) \(y = 5 — 3 \arctan\frac{x}{2}\);
Для нахождения области значений функции необходимо учитывать свойства функции \(\arctan\).
Множество значений функции \(\arctan\):
\(-\frac{\pi}{2} < \arctan\frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}\).
Умножим обе части неравенства на \(-3\) (так как множитель отрицательный, знаки неравенства меняются на противоположные):
\(-3 \cdot -\frac{\pi}{2} > -3 \arctan \frac{x}{2} > -3 \cdot \frac{\pi}{2}\).
Выполним умножение:
\(\frac{3\pi}{2} > -3 \arctan\frac{x}{2} > -\frac{3\pi}{2}\).
Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства:
\(5 + \frac{3\pi}{2} > 5 — 3 \arctan\frac{x}{2} > 5 — \frac{3\pi}{2}\).
Запишем результат, переставив неравенство в стандартном порядке:
\(5 — \frac{3\pi}{2} < 5 — 3 \arctan\frac{x}{2} < 5 + \frac{3\pi}{2}\).
Итак, область значений функции:
\(E(y) = \big(5 — \frac{3\pi}{2}; 5 + \frac{3\pi}{2}\big)\).