ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 357 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите наибольший отрицательный корень уравнения } \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Дано уравнение:
\(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Наибольший отрицательный:
\(
x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\)
\(
x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad x = -2\pi n
\)

\(
x_1 = -\frac{3\pi}{2},\quad x_2 = -2\pi
\)

Ответ:
\(
-\frac{3\pi}{2}.
\)

Дано уравнение:
\(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Для решения уравнения необходимо найти значения \(x\), при которых синус принимает значение \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Синус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) в следующих точках:
\(
x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Рассмотрим каждую из этих точек:
1. Для первого случая:
\(
x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n
\)
Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей уравнения:
\(
x = 2\pi n
\)

2. Для второго случая:
\(
x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n
\)
Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей уравнения:
\(
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\)

Теперь определим наибольший отрицательный корень.

Для первого случая:
\(
x = 2\pi n
\)
При \(n = -1\):
\(
x = -2\pi
\)

Для второго случая:
\(
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\)
При \(n = -1\):
\(
x = \frac{\pi}{2} — 2\pi = -\frac{3\pi}{2}
\)

Сравним найденные значения:
\(
x_1 = -\frac{3\pi}{2}, \quad x_2 = -2\pi
\)

Наибольший отрицательный корень:
\(
x = -\frac{3\pi}{2}.
\)

Ответ:
\(
-\frac{3\pi}{2}.
\)