ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 358 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Сколько корней уравнения } \tan(3x) = \sqrt{3} \text{ принадлежит промежутку } [0; a]?
\)

\(
\text{ Корни на промежутке:}
\)
\(
\text{tg}(3x) = \sqrt{3}, \, x \in [0; \pi]; \, 3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \, x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3};
\)
\(
\text{Все подходящие корни:}
\)
\(
x(0) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{9} + 0 = \frac{\pi}{9};
\)
\(
x(1) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{4\pi}{9};
\)
\(
x(2) = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9};
\)

\(
\text{Ответ: } x(0), x(1), x(2).
\)

\(
\text{корни уравнения на заданном промежутке:}
\)

\(
\text{tg}(3x) = \sqrt{3}, \, x \in [0; \pi].
\)

\(
\text{преобразуем уравнение:}
\)

\(
3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}.
\)

\(
x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}.
\)

\(
\text{теперь найдем все подходящие значения } x, \text{ которые принадлежат промежутку } [0; \pi].
\)

\(
n = 0: \, x(0) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{9}.
\)

\(
n = 1: \, x(1) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 1}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}.
\)

\(
n = 2: \, x(2) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 2}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}.
\)

\(
n = 3: \, x(3) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi \cdot 3}{3} = \frac{\pi}{9} + \pi > \pi.
\)

\(
x(3) > \pi, \text{ поэтому } n = 3 \text{ и все большее } n \text{ не подходят.}
\)

\(
\text{следовательно, подходящие корни:}
\)

\(
x(0) = \frac{\pi}{9}, \, x(1) = \frac{4\pi}{9}, \, x(2) = \frac{7\pi}{9}.
\)

\(
\text{ответ: } x(0), x(1), x(2).
\)