ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 359 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Hайдите все корни уравнения

\(
\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi
\)

Корни на промежутке:
\(
\sin(x + 3) = 13, \quad \frac{\pi}{3} < x + 2 = 16 + 2\pi T, \quad 3 < x < \pi;
\)

\(
x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;
\)

\(
x + 3 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;
\)

Все подходящие корни:
\(
x_1(0) = \frac{5\pi}{6} + 2n \cdot 0 = \frac{5\pi}{6};
\)

\(
x_2(0) = \pi + 2\pi \cdot 0 = \pi;
\)

Ответ:
\(
\frac{5\pi}{6}, \pi.
\)

Рассмотрим уравнение:

\(
\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi.
\)

решение уравнения

1. Общий вид решения уравнения \(\cos(y) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), где \(y = x + \frac{\pi}{3}\), записывается как:
\(
y = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad y = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n,
\)
где \(n \in \mathbb{Z}\).

Упростим выражения:
\(
y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad y = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.
\)

2. Вернёмся к переменной \(x\). Так как \(y = x + \frac{\pi}{3}\), то
\(
x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.
\)

Выразим \(x\):
\(
x = \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,
\)
либо
\(
x = \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.
\)

Таким образом, общее решение:
\(
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

учет ограничения

Нам нужно найти корни, удовлетворяющие условию:
\(
\frac{\pi}{3} < x < \pi.
\)

для \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\):
При \(n = 0\):
\(
x = \frac{\pi}{2}.
\)
Проверим, удовлетворяет ли это значение неравенству:
\(
\frac{\pi}{3} < x < \pi.
\)
Так как:
\(
\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} < \pi,
\)
это значение подходит.

для \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\):
При \(n = 0\):
\(
x = \frac{5\pi}{6}.
\)
Проверим, удовлетворяет ли это значение неравенству:
\(
\frac{\pi}{3} < x < \pi.
\)
Так как:
\(
\frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6} < \pi,
\)
это значение также подходит.

итоговый ответ

Все корни уравнения, удовлетворяющие заданному промежутку:
\(
x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{6}.
\)