ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 359 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Hайдите все корни уравнения

\(
\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi
\)

Корни на промежутке:
\(\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi;\)

\(
x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n;
\)
\(
x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)

Все подходящие корни:
\(
x_1(0) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{6};
\)
\(
x_2(0) = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2};
\)

Ответ:
\(
\frac{5\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{2}.
\)

Рассмотрим уравнение:
\(\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), где \(x\) принадлежит промежутку \(\frac{\pi}{3} < x < \pi\).

Для решения уравнения используем основное свойство косинуса:
\(
\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\)
При этом \(\alpha\) принимает значения:
\(
\alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Подставим \(x + \frac{\pi}{3}\) вместо \(\alpha\):
\(
x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n
\)
\(
x = \frac{5\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\)

Или:
\(
x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7\pi}{6} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n
\)
\(
x = \frac{7\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n
\)

Теперь определим подходящие корни на заданном промежутке \(\frac{\pi}{3} < x < \pi\):

Для \(n = 0\):
\(
x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}
\)
\(
x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot 0 = \frac{5\pi}{6}
\)

Таким образом, подходящие корни:
\(
x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{6}
\)

Ответ:
\(
\frac{\pi}{2}, \quad \frac{5\pi}{6}
\)